Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Май 2008 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Стойността на израза е равна на:
- а)3
- б)9
- в)4
- г)– 4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете корените.

Отговорът е верен.

Вижте решение:
Решение:
- Намираме корените:
  = 6 – 3 = 3.
- Верен отговор (а).

Корените на уравнението са:
- а)1 и 3
- б)0
- в)– 1 и 3
- г)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Сведете уравнението до квадратно и го решете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- ДМ: x ≠ ±1.
- Свеждаме уравнението до квадратно и го решаваме:
- Верен отговор (г).

Решенията на неравенството > 2 са:
- а)(1,2)
- б)(– ∞; 1) (1; 2)
- в)(– ∞; 2)
- г)(– ∞; 1) (2; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за решаване на дробни неравенства.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме дробното неравенство:
- Верен отговор (а).

Корените на кое от квадратните уравнения са отрицателни числа?
- а)2x² - 5x + 1 = 0
- б)-2x² + 5x + 1 = 0
- в)2x² + 5x + 1 = 0
- г)2x² - 5x - 1 =0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (9).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Само за уравнение (в) се изпълнява формула (9): x₁ + x₂ < 0 и x₁.x₂ > 0.
- Верен отговор (в).

Графиката на коя от функциите е параболата на чертежа
- а)y = –x² – x + 2
- б)y = x² – x – 2
- в)y = x² – x + 2
- г)y = x² + x + 2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете функция за която графиката е с върха надолу и D > 0.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Само графиката на функцията от отговор (б) е с върха надолу, защото a = 1 и D > 0.
- Верен отговор (б).

Корените на уравнението = 4 – x са:
- а)6
- б)3
- в)6 и 3
- г)– 2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете ирационалното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме ирационалното уравнение:
- Верен отговор (б).

Стойността на израза log₃ 3 + log₄ 1 + log₅ 125 е равен на:
- а)1
- б)2
- в)3
- г)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи свойствата на логаритмична функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме логаритмите:
  log₃ 3 + log₄ 1 + log₅ 125 = 1 + 0 + 3 = 4.
- Верен отговор (г).

Дадена е аритметичната прогресия 3,6,9,... . Ако a_n = 120 е членът на прогресията с номер n, то n е равно на:
- а)50
- б)38
- в)40
- г)42
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теорема за общ член на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От дадената аритметичната прогресия намираме:
  - a₁ = 3.
  - d = 6 – 3 = 3.
- Използваме теорема 1 за аритметичната прогресия:
  a_n = a₁ + (n – 1)d 120 = 3 + (n – 1).3 n = 40.
- Верен отговор (в).

Медианата от статистическия ред 3,3,3,4,5,5,12 е равна на:
- а)3
- б)4
- в)5
- г)12
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определението за медиана.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Имаме нечетен брой данни.
- Тогава медианата е равна на числото намиращо се в средата на редицата, т.е. медианата е равна на 4.
- Верен отговор (б).

Ако α и sin α = , то стойността на cos α e:
- а)–
- б)1
- в)
- г)–
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте основното тригонометрично равенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме основното тригонометрично равенство:
  sin² α + cos² α = 1 + cos² α = 1 cos α = ± , но cos α < 0, ако α cos α = – .
- Верен отговор (а).

Стойността на израза cos 105⁰ cos 45⁰ + sin 105⁰ sin 45⁰ е равна на:
- а)
- б)–
- в)
- г)–
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте тригонометрична формула (4.2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме тригонометрична формула (4.2):
  cos 105° cos 45° + sin 105° sin 45° = cos (105° – 45°) = cos 60° = .
- Верен отговор (а).

Върху страната BC = 9 cm на триъгълник АВС е взета точка D така, че ADC = BAC. Ако BD = 5 cm, то дължината на страната АС е:
- а)4 cm.
- б)3 cm.
- в)6 cm.
- г)7 cm.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подобието на триъгълниците ABC и ACD.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- CD = BC – BD = 9 – 5 = 4 cm.
- ΔABC ~ ΔDAC по I признак, защото: 1) BAC = ADC – по условие, 2) C – общ AC² = 9.4 AC = 6 cm.
- Верен отговор (в).

Даден е триъгълник АВС, в който AC = 6 cm и AL (L BC) е ъглополовяща на ъгъла при върха А. Ако CL:LB = 2:3, то дължината на страната АВ е равна на:
- а)6 cm.
- б)4 cm.
- в)9 cm.
- г)5 cm.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойство на ъглополовяща.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме свойство на ъглополовящата AL:
  AB = 9 cm.
- Верен отговор (в).

Ако в равнобедрен триъгълник АВС дължината на основата АВ е 12 cm и cos BAC = , то лицето на триъгълника е:
- а)48 cm²
- б)24 cm²
- в)12 cm²
- г)10 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постройте височината CH и от получения правоъгълен триъгълник намерете АС.
2. Използвайте формула (2), за да намерите лицето на ΔАВС.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – равнобедрен и СН – височина СН – медиана, т.е. AH = BH = 6 cm.
- Прилагаме тригонометрична функция за ΔAHC (H = 90°):
  cos HAC = AC = 10 cm.
- Използваме основното тригонометрично равенство:
  sin² BAC + cos² BAC = 1 sin² BAC + = 1 sin BAC = .
- Използваме формула (2):
  S_ΔABC = .AC.AB.sin BAC = .10.12. = 48 cm².
- Верен отговор (а).

Разстоянието от центъра О на окръжност с радиус 10 cm до хорда AB = 16 cm е:
- а)4 cm.
- б)3 cm.
- в)6 cm.
- г)7 cm.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разгледайте равнобедрения триъгълник АОС и намерете височината му към основата АВ.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- ΔABO – равнобедрен и OН – височина OН – медиана, т.е. AH = BH = 8 cm.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔAHO (H = 90°):
  AH² + OH² = AO² 8² + OH² = 10² OH² = 36 OH = 6 cm.
- Верен отговор (в).

Лицето на триъгълник със страни 5 cm, 6 cm и 7 cm е равно на:
- а)6 cm²
- б)6 cm²
- в)3 cm²
- г)2 cm²
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Хероновата формула.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме:
  p = = 9 cm.
- Използваме хероновата формула:
- Верен отговор (б).

В банка са внесени 1600 лв. при годишна лихва от 5%. Сумата след 2 години ще бъде:
- а)1920 лв.
- б)1764 лв.
- в)1720 лв.
- г)1680 лв.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме: K₀ = 1 600, p = 5, n = 2. Търсим K_n.
- Използваме формула (2):
  K_n = K₀ = 1 764 лв.
- Верен отговор (б).

Най-малката стойност на функцията f(x) = –x² + x + 6 в интервала [–1; 3] е:
- а)6
- б)4
- в)0
- г)– 6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете най-малка стойност (НМС) на квадратна функция като използвате Свойство 3.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Дадената функция е квадратна.
- Графиката ѝ е парабола с връх нагоре, защото коефициентът пред най-високата степен на неизвестното е отрицателен.
- Намираме x-координатата на върха на параболата:
  x_v = – [– 1; 3].
- Т.е. функцията е растяща в интервала [– 1; 0,5] и намаляваща в интервала [0,5; 3].
- Намираме най-малката стойност (НМС):
  - f (–1) = – (–1)² – 1 + 6 = 4.
  - f (3) = – 3² + 3 + 6 = 0.
  - f (3) < f (–1) НМС = f (3) = 0.
- Верен отговор (в).

Даден е трапец ABCD, който е вписан в окръжност. Ако основата AB = 4 cm, диагоналът AC = 3 и BAC = 45°, то дължината на основата CD е равна на:
- а)5 cm.
- б)4 cm.
- в)3 cm.
- г)2 cm.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От това, че ABCD вписан трапец следва, че той е равнобедрен.
2. Приложете косинусова теорема за ΔABC и ΔACD, за да намерите основата.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – вписан трапец, следователно той е равнобедрен, т.е. AD = BC = c.
- Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:
  BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cos 45° c² = 16 + 18 – 2.4.3 = 10 c = .
- AB || CD ACD = BAC = 45° (като кръстни ъгли).
- Прилагаме косинусова теорема за ΔACD:
  AD² = AC² + DC² – 2.AC.AD.cos 45° 10 = 18 + b² – 2.3.b b² – 6b + 8 = 0, b₁ = 2, b₂ = 4.
- Страната b е малката основа на трапеца, т.е. b < a b < 4.
- Това означава, че CD = b = 2 cm.
- Верен отговор (г).

При x > 0 и y < 0 изразът е тъждествено равен на:
- а)2xy
- б)– 2x|y|
- в)– 2xy
- г)2|x|y
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изнесете неизвестните пред корена.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие x > 0 и y < 0 затова = |y| = – y, = |x| = x и след изнасяне пред корен се получава отговор (в).
- Верен отговор (в).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Да се намери най-малката стойност на функцията y = x² + 2x + 3 в интервала [–2; 2].

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте свойствата на квадратна функция.

Вижте решение
Решение:
- Дадената функция е квадратна.
- Графиката ѝ е парабола с връх надолу, защото коефициентът пред най-високата степен на неизвестното е положителен.
- Намираме x-координатата на върха на параболата:
  x_v = – = – 1 [– 2; 2].
- Т.е. функцията е намаляваща в интервала [– 2; – 1] и растяща в интервала [– 1; 2].
- Най-малката ѝ стойност ще бъде при върха на параболата:
  y (– 1) = (– 1)² + 2. (– 1) + 3 = 2.
- Отговор: НМС = 2.

Да се реши неравенството

Вижте упътване

Упътване:

Прехвърлете единицата от лявата страна на неравенството и приведете под общ знаменател само лявата страна.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме неравенството до основен вид:
- Решаваме неравенството по метода на интервалите.
- Нулираме всяка скоба:
  - 4 – x² = 0, x₁ = – 2, x₂ = 2.
  - x² – x – 2 = 0, x₁ = – 1, x₂ = 2.
- Числото 2 се повтаря, т.е. при x = 2 имаме частен случай.
- Нанасяме корените върху числовата ос. Очертаваме подинтервалите, като числото 2 не се включва в подинтервалите. Знака на най-десният интервал е минус, защото имаме един минус пред неизвестните величини:
- Решенията са x (– ∞; – 2) (– 1; 2) (2; + ∞).
- Отговор: x (– ∞; – 2) (– 1; 2) (2; + ∞).

Триъгълникът АВС е равнобедрен с основа AB = 6 cm и бедро AC = 5 cm. Да се намери радиусът на вписаната в триъгълника окръжност.

Вижте упътване

Упътване:

Запишете лицето на триъгълника по два начина, чрез хероновата формула и чрез формулата S = p.r.

Вижте решение
Решение:
- Намираме лицето на триъгълник ABC:
  - p = = 8.
  - Прилагаме хероновата формула:
- Прилагаме формула (4):
  S = p.r 12 = 8.r r = cm.
- Отговор: r = cm.

Даден е триъгълник АВС. Ромб AMNP е вписан в триъгълника така, че страната му АМ да лежи върху страната АВ на триъгълника. Ако AB = 6 cm и AC = 8 cm, да се намери дължината на страната на ромба.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте подобието на триъгълниците АВС и PNC.

Вижте решение
Решение:
- Нека за страните на ромба да имаме означенията AM = MN = NP = PA = x. Тогава CP = AC – AP = 8 – x.
- ΔPNC ~ ΔABC по I признак, защото: 1) NPC = BAC – като съответни ъгли на (AB || PN) ∩ AC; 2) C – общ x = AM = cm.
- Отговор: AM = cm.

Колко различни четирицифрени числа без повтарящи се цифри могат да се запишат с цифрите 0,2,4 и 7?

Вижте упътване

Упътване:

В случая имаме пермутации с четири елемента затова използваме формулата P₄ – P₃.

Вижте решение
Решение:
- Дадени са четири цифри и за изписването на четирицифрените числа се използват всичките четири цифри.
- Т.е. трябва да намерим пермутации на четири елемента, т.е. P₄ = 4! = 4.3.2.1 = 24.
- Но, нямаме четирицифрено число започващо с 0.
- Затова трябва да намерим броя на пермутациите от 3 елемента, защото четирицифрено число започващо с 0 има още три цифри, т.е. P₃ = 3! = 3.2.1 = 6.
- Броят на търсените числа е P₄ – P₃ = 24 – 6 = 18.
- Отговор: При даденото условие може да се запишат 18 числа.

Условията на задачи от 26. до 28. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2009 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура