Решение:

• Методът на пресечниците е един от основните методи за построяване на сечение с многостен.
• От него следва, че ако стена на многостен и равнината на сечението не са успоредни, те се пресичат. Тогава е достатъчно да намерим пресечниците на сечението с тези не успоредни стени на многостена и след това да определим пресечните им точки с ръбовете на многостена.
• Така получаваме, че пресечниците на равнината на сечението с успоредни стени на многостена, са също успоредни.
• Тези неща са изпълнени само за отговор Г).
• Верен отговор Г).

Решение:

• Ако точка O (α; β) е център на окръжността, то от нормалното уравнение на дадените окръжности намираме координатите на т. O:

  А) (x – 2)² + (y + 3)² = 5 O_А (2; – 3).

  Б) (x + 1)² + (y + 1)² = 8 O_Б (– 1; – 1).

  В) (x – 1)² + (y – )² = 25 O_В (1; ).

  Г) (x – 3)² + y² = 4 O_Г (3; 0).

• Използваме Свойство 2, за да проверим кои от така получените точки лежат на дадената права:
  • Проверяваме т. O_А (2; – 3):

    При x = 2 y 2 = 1 ≠ – 3, т.е. O_А (2; – 3) НЕ лежи на y.

  • Проверяваме т. O_Б (– 1; – 1):

    При x = – 1 y (– 1) = – ≠ – 1, т.е. O_Б (– 1; – 1) НЕ лежи на y.

  • Проверяваме т. O_В (1; ):

    При x = 2 y 1 = , т.е. O_В (1; ) лежи на y.

  • Другите отговори не ги проверяваме.
• Верен отговор В).

Решение:

• Определяме ъгловите коефициенти на дадените две прави:
  • g₁: y = 2x – 3 k₁ = 2.
  • g₂: y = – 2kx + 1 k₂ = – 2k.
• Използвайте условието за успоредни прави, които са зададени с декартовите си уравнения (Формула 24):

  k₁ = k₂ 2 = – 2k k = – 1.

• Верен отговор Б).

Решение:

• Използваме дадената таблица и свойство на вероятностите в закона за разпределение (формула 1):

  p₁ + p₂ + p₃ + p₄ = 1 0,4 + 0,3 + a + 0,1 = 1 a = 0,2.

• Намираме математическото очакване (формула 2):

  EX = p₁x₁ + p₂x₂ + p₃x₃ + p₄x₄ = 0,4.(– 1) + 0,3.0 + 0,2.1 + 0,1.2 = 0.

• Използваме формула за дисперсия (формула 3):

  DX = p₁(x₁ – EX)² + p₂(x₂ – EX)² + p₃(x₃ – EX)² + p₄(x₄ – EX)² = 0,4(– 1 – 0)² + 0,3(0 – 0)² + 0,2(1 – 0)² + 0,1(2 – 0)² = 0,4 + 0,2 + 0,4 = 1.

• Верен отговор В).

Решение:

• Делимото x – 1 е полином от първа степен, т.е. x₀ = 1.
• Попълваме таблицата по схемата на Хорнер:
• От таблицата се вижда, че остатъкът е – 2.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Нека Т е произволен период на функцията f (x) и от определението за периодична функция (формула 18) получаваме:

  tg 2T = sin 2(T + x).

• Тангенсът е тригонометрична функция с период k.π, където k = ±1; ±2; … и горното равенство е възможно, ако:

  2.T = k.π

• Най-малкото положително число T се получава при k = 1 и тогава главният (елементарният) период на дадената функция f (x) e:

  T₀ = .

• Верен отговор В).

Решение:

• Използваме правилото за намиране координатите на произведение на вектор с числото 2 (формула 16):

• Използваме правилото за намиране координатите на разлика на вектори (формула 15):

  (x_2a – x_b; y_2a – y_b) = [2 – (– 1); 4 – 1) = (3; 3).

• Верен отговор Г).

Решение:

• Установяваме, че имаме неопределеност и използваме начина за премахване на тази неопределеност:
• Верен отговор А).

Решение:

• От дадената безкрайна геометрична прогресия и Таблица №1, определяме:
  • Първи член a₁ = sin 45° = .
  • Втори член a₂ = – sin² 45°.
• Използваме определението за геометрична прогресия, за да намерим частното q на прогресията:

  q – sin 45° = – .

• Използваме Теорема за сума на безкрайно намаляваща геометрична прогресия:

• Верен отговор Б).

Решение:

• Намираме първата производна:

  f ' = 6x² – 3.

• Нека търсеният ъгъл е α и използваме формула (15) от геометричен смисъл на производната:

  tg α = f ' (1) = 6.1² – 3 = 3.

• Верен отговор Г).

Решение:

• Намираме първата производна:

  f ' = x² + 2x – 3.

• Изследваме, като използваме Правило 1, т.е. решаваме квадратното неравенство, за да определим точките, в които първата производна се анулира:

  f ' = x² + 2x – 3 = 0 x₁ = – 3, x₂ = 1.

• Изследваме знака на първата производна във всеки от интервалите, т.е. определяме в кои интервали функцията е растяща (решаваме неравенството f ' (x) ≥ 0) или намаляваща (решаваме неравенството f ' (x) ≤ 0). В точката, при която функцията от намаляваща преминава в растяща, имаме локален min, а от растяща в намаляваща – локален max. Резултатите нанасяме в таблица:
• От таблицата се вижда, че отговорът е y_min = – .
• Верен отговор Б).

Решение:

• Използваме Теорема 2 на инфлексна точка и затова последователно намираме:
  • Първата производна:

    f ' = x² – 6x.

  • Втората производна:

    f '' = 3x – 6.

  • Решаваме уравнението:

    f '' = 0 3x – 6 = 0 x = 2.

  • Намираме стойността на функцията f (x) при x = 2:

    f (2) = . 2³ – 3.2² + 9 = 1.

  • Определяме координатите на инфлексната точка:

    M (x; f (x)) = M (2; 1).

• Тази точка е в I квадрант.
• Верен отговор А).

Решение:

Решение:

• За намирането на първата производна използваме правилото за диференциране на степен (Таблица 1):

  y ' (x) = 5(2x – 3)^{5 – 1}.2 = 10(2x – 3)⁴.

• За намирането на втората производна отново използваме правилото за диференциране на степен (Таблица 1):

  y '' (x) = 10.4(2x – 3)^{4 – 1}.2 = 80(2x – 3)³.

• Верен отговор Г).

Решение:

• От даденото за Книжарница 1 (К₁) имаме, че:
  • сборниците по математика (M) са 5x;
  • сборниците по чужд език (ЧЕ) са 3x;
  • общо (О) всички сборници са 8x.
• От даденото за Книжарница 2 (К₂) имаме, че:
  • сборниците по математика (M) са 2y;
  • сборниците по чужд език (ЧЕ) са y;
  • общо (О) всички сборници са 3y.
• От даденото за Книжарница 3 (К₃) имаме, че:
  • сборниците по математика (M) са z;
  • сборниците по чужд език (ЧЕ) са z;
  • общо (О) всички сборници са 2z.
• Използваме формулата за класическа вероятност (формула 7), за да намерим вероятностите за избор на 1 сборник по математика:

• По условие книжарниците се избират с една и съща вероятност, т.е. избор на всяка книжарница е с вероятност .
• Намираме отговора:

• Верен отговор В).