Софийски университет - Математика, Юни 2022 г

СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2022 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 10. включително отбележете в листа с отговори!

Кое от посочените числа е най-голямо:
- А)1,7
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (8), като преди това сте изравнили коренните показатели чрез формула (5).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формули (8), за да сравним числата от отговори А), Б) и В):
- Но 2,61 < 2,89 < 3, т.е. най-голямото от тези три числа е .
- Прилагаме формула (5) и след това формула (8):
- Верен отговор Б).

Изразът A = (3 – log₅ 500).(log₄ 400 – 2) + log₄ 32 е равен на:
- А)
- Б)1
- В)2
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули и извършете означените действия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За логаритмите в скобите използваме формула (13), а за този извън скобите – формула (8):
- Прилагаме формула (5), за да направим еднакви основи и извършваме означените действия:
  A = – log₅ 4 . 2. log₄ 5 + = – 2 log₅ 4 . .
- Верен отговор А).

Допустимите стойности за x в израза са:
- А)x [– 4; 4]
- Б)x (– 5; 4]
- В)x [– 3; + ∞)
- Г)x [– 3; 1) (1; 4]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на дробна (рационална) функция и на ирационална функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Свойство 1 на ирационална функция и ДМ на дробна функция:
- Верен отговор Г).

Ако x₁ и x₂ са корени на уравнението 15x² – 28x + 12 = 0, то стойността на израза A = е равен на:
- А)2
- Б)2,5
- В)4
- Г)5,6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте А така, че да използвате формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Изразът за е тъждествено равен на:
- А)cos
- Б)sin
- В)tg
- Г)cotg
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи Тригонометрични Формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Последователно използваме Тригонометрична Формула (5.15), Тр.Ф (1.3) и отново Тр.Ф (5.15):
- Верен отговор В).

Даден е ΔABC. Върху страната AB са избрани точките D и E, като AD = 3, DE = 4 и EB = 5. Точката F лежи върху страната AC и AF = 5, CF = 4. Ако S_ΔDEF и S_ΔBCE са съответно лицата на ΔDEF и ΔBCE, тогава отношението S_ΔDEF : S_ΔBCE е равно на:
- А)1 : 2
- Б)4 : 9
- В)7 : 18
- Г)1 : 3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Отбележете BAC = α и с помощта на подходящи формули намерите лицата на ΔDEF и ΔBCE, и ги разделете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека BAC = α.
- Намираме лицето на ΔDEF:
  - Прилагаме формула (2) за ΔADF:
    S_ΔADF = . AD . AF . sin α = . 3 . 5 . sin α = . sin α.
  - Прилагаме същата формула, но за ΔAEF:
    S_ΔAEF = . AE . AF . sin α = . 7 . 5 . sin α = . sin α.
  - Тогава:
    S_ΔDEF = S_ΔAEF – S_ΔADF = . sin α – . sin α = 10 sin α.
- Намираме лицето на ΔBCE:
  - Прилагаме формула (2) за ΔAEC:
    S_ΔAEC = . AE . AC . sin α = . 7 . 9 . sin α = . sin α.
  - Прилагаме същата формула, но за ΔABC:
    S_ΔABC = . AB . AC . sin α = . 12 . 9 . sin α = . sin α.
  - Тогава:
    S_ΔBCE = S_ΔABC – S_ΔAEC = . sin α – . sin α = sin α.
- Намираме търсеното отношение:
  .
- Верен отговор Б).

В ΔABC е дадено AC = BC = 13, AB = 10 и точка H е среда на страната AB. В ΔACH е вписана окръжност с център Q. Дължината на отсечката BQ е равна на:
- А)5
- Б)2
- В)6
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете височината СН на равнобедрения ΔABC.
2. Използвайте формула (9), за да намерите радиуса на вписаната в ΔACH окръжност.
3. Ако т. Р е допирната точка на окръжността до АВ, то докажете, че РН = r и намерете отсечката РН.
4. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – равнобедрен и СН – височина, това означава, че СН – медиана, т.е.
  AH = BH = AB = . 10 = 5.
- Разглеждаме ΔAHC (H = 90°): Нека вписаната в него окръжност се допира до катетите АН и СН съответно в т. Р и т. М.
  - Прилагаме Питагорова теорема:
    AH² + CH² = AC² 5² + CH² = 13² CH² = 144 CH = 12.
  - Знаем, че QPHM е квадрат и използваме формула (9):
    r = QP = PH = = 2.
- BP = BH + PH = 5 + 2 = 7.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔBPQ (P = 90°):
  BP² + PQ² = BQ² 7² + 2² = BQ² BQ² = 53 BQ = .
- Верен отговор Г).

В правоъгълника ABCD точката M от диагонала AC е такава, че AM = 18 и CM = 2. Ако BAC = 30°, тогава тангенсът на ABM е равен на:
- А)2
- Б)
- В)3
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете ВС.
2. Изразете BMC и CBM чрез ABM.
3. За ΔBCM приложете синусова теорема и използвайте подходяща Тригонометрична Формула, за да получите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека търсеният ъгъл е ABM = φ.
- Прилагаме Теорема за външен ъгъл в ΔABM:
  BMC = ABM + BAM = φ + 30°.
- По условие имаме:
  CBM = ABC – ABM = 90° – φ.
- Прилагаме формула (1) за ΔABC (ABC = 90°, BAC = 30°):
  BC = AC = (18 + 2) = 9 + .
- За ΔBCM използваме Синусова теорема, а след това Тригонометрична Формула (4.1), Таблица №2 и Тр.Ф.(1.3):
- Верен отговор В).

В равнината е въведена правоъгълна координатна система. Дължината на перпендикуляра от точка M (5; 0) до правата с уравнение y = 2x, е равна на:
- А)4
- Б)2
- В)4
- Г)5
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Нека т. O е центъра на координатната система. Намерете координатите на пресечната точка N на правата с уравнение y = 2x и перпендикулярът, издигнат от т. М.
2. Намерете височината на ΔOMN.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От т. М издигаме перпендикуляр и нека т. N е пресечната му точка с правата с уравнение y = 2x.
- Координатите на точката са N (5, y). Намираме y:
  y (5) = 2.5 = 10.
- Това означава, че:
  MN = y = 10; OM = x = 5.
- Построяваме височината MP (това е търсеното разстояние) в правоъгълния ΔOMN (OMN = 90°) и я намираме:
  - Прилагаме Питагорова теорема:
    OM² + MN² = ON² 5² + 10² = ON² ON² = 125 ON = 5.
  - Прилагаме формула (7):
    MP . ON = OM . MN MP.5 = 5.10 MP .
- Верен отговор Б).

С буквите от българската азбука {а, б, в, г, д, е, ж, з, и} са образувани всички възможни 5-буквени думи без повтарящи се букви. Вероятността в случайно избрана дума от горния вид, буквите да се редуват по следния начин:
съгласна – гласна – съгласна – гласна – съгласна

е равна на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Дадените гласни са 3 (а, е, и) и 6 съгласни, общо 9 букви, т.е. всички възможни случаи са n = 9.
2. Използвайте формула (7), за да намерите вероятността за изтегляне на: първата буква (която е първа съгласна), втората буква (която е първа гласна), третата буква (която е втора съгласна), четвъртата буква (която е втора гласна) и петата буква (която е трета съгласна).
3. Използвайте правилото за умножение, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Дадени са: 3 гласни (а, е, и) и 6 съгласни, общо 9 букви.
- Намираме вероятността за изтеглянето на първата буква (първа съгласна):
  - Намираме всички възможни случаи n: Изборът на първата буква става от общо 9 букви, т.е. n = 9.
  - Намираме благоприятните случаи m: избираме от 6 съгласни, т.е. m = 6.
  - Използваме формула (7):
- Намираме вероятността за изтеглянето на втората буква (първа гласна):
  - Намираме всички възможни случаи n: Изборът на втората буква става от общо 8 букви (защото една буква, първата, вече е изтеглена), т.е. n = 8.
  - Намираме благоприятните случаи m: избираме от 3 гласни, т.е. m = 3.
  - Използваме формула (7):
- Намираме вероятността за изтеглянето на третата буква (втора съгласна):
  - Намираме всички възможни случаи n: Изборът на третата буква става от общо 7 букви (защото две букви вече са изтеглени), т.е. n = 7.
  - Намираме благоприятните случаи m: избираме от 5 съгласни (защото една от съгласните вече е изтеглена), т.е. m = 5.
  - Използваме формула (7):
- Намираме вероятността за изтеглянето на четвъртата буква (втора гласна):
  - Намираме всички възможни случаи n: Изборът на четвъртата буква става от общо 6 букви (защото три букви вече са изтеглени), т.е. n = 6.
  - Намираме благоприятните случаи m: избираме от 2 гласни (защото една от гласните вече е изтеглена), т.е. m = 2.
  - Използваме формула (7):
- Намираме вероятността за изтеглянето на петата буква (трета съгласна):
  - Намираме всички възможни случаи n: Изборът на петата буква става от общо 5 букви (защото четири букви вече са изтеглени), т.е. n = 5.
  - Намираме благоприятните случаи m: избираме от 4 съгласни (защото две от съгласните вече са изтеглена), т.е. m = 4.
  - Използваме формула (7):
- Прилагаме Правилото за умножение:
  P = P_1С.P_1Г.P_2С.P_2Г.P_3С = .
- Верен отговор Г).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 11. до 12. включително запишете в листа с отговори!

Да се реши системата

Вижте упътване
Упътване:
1. Използвайте подходящи формули за съкратено умножение, за да преобразувате първото уравнение.
2. Решете системата чрез заместване.
Вижте решение
Решение:
- В първото уравнение използваме формула (5) за съкратено умножение и решаваме системата чрез заместване:
- Намираме другото неизвестно:
  - При y₁ = – 5 получаваме:
    x₁ = 13 + y₁ = 13 – 5 = 8.
  - При y₂ = – 8 получаваме:
    x₂ = 13 + y₂ = 13 – 8 = 5.
- Отговор: Решенията са: (8; – 5); (5; – 8).

Даден е трапец ABCD с основи AB = 10, CD = 5 и диагонал BD = 6. Ъглополовящата на ABD пресича бедрото AD в точка L, като DL = 3. Да се намери периметърът на трапеца ABCD.

Вижте упътване
Упътване:
1. В ΔABD използвайте свойство на ъглополовящата AL и намерете AD.
2. Използвайте косинусова теорема за ΔABD, за да намерите ABD.
3. Докажете, че BDC = ABD и използвайте косинусова теорема за ΔBDC, за да намерете отговора.
Вижте решение
Решение:
- CL – ъглополовяща на ABD и прилагаме формула (5) за ΔABD:
  AL = 5.
- Тогава:
  AD = AL + LD = 5 + 3 = 8.
- Нека ABD = φ и прилагаме косинусова теорема за ΔABD:
  AD² = AB² + BD² – 2AB.BD.cos φ 8² = 10² + 6² – 2.10.6.cos φ cos φ = .
- Разглеждаме (AB || CD) ∩ BD и прилагаме Теорема свойство:
  BDC = ABD = φ (като кръстни ъгли) cos BDC = cos ABD = cos φ.
- Прилагаме косинусова теорема за ΔBCD:
  BC² = BD² + CD² – 2.BD.CD.cos φ = 6² + 5² – 2.6.5. = 25 BC = 5.
- Намираме отговора:
  P_ABCD = AB + BC + CD + AD = 10 + 5 + 5 + 8 = 28.
- Отговор: P_ABCD = 28.

Условията на задачи от 13. до 16. включително може да намерите тук, а указание за решаването им – тук.

Върни се нагоре Други тестове 2021 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура