Софийски университет - Математика, Юни 2023 г

СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2023 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 10. включително отбележете в листа с отговори!

Най-малкото от числата е:
- А)0,8
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за сравняване на обикновени дроби.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Превръщаме десетичното число в обикновена дроб:
  0,8 = .
- Числото е по-голямо от единица, защото , а останалите числа са правилни дроби. Отговорът ще го търсим между тях
- Сравняваме правилните дроби, като ги приведем под общ знаменател:
- Верен отговор А).

Най-голямата стойност на квадратния тричлен y (x) = – x² + 4x – 5 за x [– 2; 1] е:
- А)0
- Б)– 2
- В)– 13
- Г)– 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо Свойство на квадратна функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Графиката на квадратната функция y (x) е парабола с връх обърнат нагоре, защото старшият коефициент е отрицателен.
- Намираме x-тата координата на върха на параболата:
  x_v = – = 2.
- От Свойство 2 на квадратна функция следва, че функцията y (x) расте в интервала x (– ∞; 2).
- Но 2 ∉ [– 2; 1] и е отдясно на този интервал, т.е. в интервала [– 2; 1] функцията y (x) е само растяща.
- Намираме Най-голямата стойност (НГС):
  - y (– 2) = – (– 2)² + 4.(– 2) – 5 = – 17.
  - y (1) = – 1² + 4.1 – 5 = – 2.
  - Т.е. y (– 2) < y (1).
  - Тогава:
    НГС y (x) = y (1) = – 2.
- Верен отговор Б).

Нека a₁, a₂, a₃, a₄ е геометрична прогресия, за която a₁ + a₂ + a₃ = 13 и a₂ + a₃ + a₄ = 39. Да се намери a₄.
- А)25
- Б)30
- В)21
- Г)27
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: В дадените уравнения използвайте подходящо свойство на геометрична прогресия, за да получите уравнения с две неизвестни, съставете система и я решете чрез делене.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Въвеждаме неизвестните: a₁ – първи член, q – частно на геометричната прогресия.
- От Теорема за общ член на теометрична прогресия получаваме:
  - a₂ = a₁q.
  - a₃ = a₁q².
  - a₄ = a₁q³.
- Съставяме системата и я решаваме чрез делене:
- Намираме отговора:
  a₄ = a₁q³ = 1.3³ = 27.
- Верен отговор Г).

Броят на различните решения на уравнението |2x² – 10x + 1| = 11,5 е равен на:
- А)1
- Б)2
- В)3
- Г)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящ начин за решаване на модулно уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Уравнението е модулно в основен вид, като g (x) = c = 11,5.
- Прилагаме алгебричен начин за решаването му, като разпишем две уравнения:
  - 2x² – 10x + 1 = 11,5 2x² – 10x – 10,5 = 0. Това квадратно уравнение има положителна дискриминанта (ако използваме кратката формула получаваме D = 50 > 0), т.е. то има две решения.
  - 2x² – 10x + 1 = – 11,5 2x² – 10x + 12,5 = 0. Това квадратно уравнение има дискриминанта D = 0, т.е. то има едно решение.
- Даденото уравнение има общо три решения.
- Верен отговор В).

Ако корените на уравнението 6x² – x – 1 = 0 са x₁ и x₂, то стойността на израза x₁⁴x₂ + x₁x₂⁴ е равна на:
- А)–
- Б)–
- В)–
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте дадения израз, така че да използвате формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За даденото квадратно уравнение прилагаме формулите на Виет:
  - x₁ . x₂ = .
  - x₁ + x₂ = .
- Използваме формули за съкратено умножение (6) и (14), за да преобразуваме дадения израз и заместваме с тези стойности:
  x₁⁴x₂ + x₁x₂⁴ = x₁x₂(x₁³ + x₂³) = x₁x₂(x₁ + x₂)(x₁² – x₁x₂ + x₂²) = x₁x₂(x₁ + x₂)(x₁² + x₂² – x₁x₂) = x₁x₂(x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ – x₁x₂] = x₁x₂(x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² – 3x₁x₂] = – – .
- Верен отговор А).

ΔABC е равнобедрен, като ACB = 120° и радиусът на описаната около ΔABC окръжност е равен на 10. Намерете дължината на страната AC.
- А)5
- Б)10
- В)15
- Г)10
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От синусова теорема намерете AB.
2. Постройте височината и от подходящ правоъгълен триъгълник намерете AC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме синусова теорема за ΔABC:
- Построяваме CH – височина на ΔABC (равнобедрен), т.е. CH е ъглополовяща (ACH = BCH = 60°) и медиана (AH = BH = 5).
- Прилагаме формула (10) за ΔAHC (AHC = 90°):
  sin 60° = AC = 10.
- Верен отговор Б).

Точките M и N са среди на страните CD и AD на квадрата ABCD. Нека AM и CN се пресичат в P. Ако лицето на четириъгълника DNPM е равно на 1, то страната AB има дължина:
- А)2
- Б)
- В)2
- Г)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте начин, който сме описали при решаването на Зад. 4.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме начин, който сме описали при решаването на Зад. 4.
- Нека AB = 2x, S_ΔDMP = S₀₁, S_ΔCMP = S₁, S_ΔDNP = S₀₂, S_ΔANP = S₂, S_ΔACD = S, S_DNPM = S₀.
- По условие т. M и т. N са среди на страните CD и AD на квадрата ABCD, т.е. AN = DN = DM = CM = x.
- ΔDMP и ΔCMP имат едни и същи височини, и освен това DM = CM, тогава от формула (1) за лице следва, че
  (A): S₀₁ = S₁.
- По подобен начин за ΔDNP и ΔANP имаме
  (B): S₀₂ = S₂.
- ΔDNC и ΔDAC са правоъгълни и имат общ катет (DC), а от чертежа се вижда, че S_ΔDNC = S₀ + S₁. Прилагаме формула (14) и делим лицата им:
  (C): S₁ = S – S₀.
- ΔDMA и ΔDAC са правоъгълни и имат общ катет (DA), а от чертежа се вижда, че S_ΔDMA = S₀ + S₂. Отново прилагаме формула (14) и делим лицата им:
  (D): S₂ = S – S₀.
- Използваме равенства (A), (B), (C), (D) и чертежа:
  S₀ = S₀₁ +S₀₂ = S₁ + S₂ = S – S₀ + S – S₀ 3S₀ = S,
  
  но по условие имаме S₀ = 1, S = 2x², тогава:
  
  3 = 2x² x² = .
- Положихме, че AB = 2x и от горното равенство получаваме:
  AB² = 6 .
- Верен отговор Б).

ΔABC има страни AC = 5 и BC = 8. Ъглополовящите AA₁ и BB₁ се пресичат в точка I. Намерете AB, ако четириъгълникът A₁CB₁I е вписан в окръжност.
- А)
- Б)8
- В)5
- Г)7
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Основна зад. 2 и формула (1), за да намерите ACB.
2. За ΔABC използвайте косинусова теорема, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека ACB = γ, AIB = γ₁. Тогава A₁IB₁ = AIB = γ₁ (като връхни ъгли).
- По условие AA₁ и BB₁ са ъглополовящи и от Основна зад. 2 записваме:
  γ₁ = AIB = 90° + .
- A₁CB₁I – вписан четириъгълник и от формула (1) получаваме:
  A₁CB₁ + A₁IB₁ = 180° γ + 90° + = 180° γ = 60°.
- За ΔABC прилагаме косинусова теорема (формула 1):
  AB² = AC² + BC² – 2AC.BC.cos γ = 5² + 8² – 2.5.8. = 49 AB = 7.
- Верен отговор Г).

В правоъгълна координатна система са дадени правите m: 2x + 3y – 10 = 0, n: 3x + 5y – 13 = 0 и p: x + y – 5 = 0. Намерете разстоянието от пресечната точка на правите m и n до правата p.
- А)
- Б)1
- В)2
- Г)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Координатите на пресечната точка между две прави, които са зададени с общите си уравнения, се намира от формула (17).
2. Използвайте формула (26), за да намерите разстоянието от точка до права.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека m ∩ n = M (x₀; y₀).
- Координатите x₀ и y₀ са решенията на системата от формула (17), защото правите са зададени с общите си уравнения:
  y = – 4, x = 11, т.е. x₀ = 11, y₀ = – 4.
- От общото уравнение на правата p: x + y – 5 = 0 определяме, че: A = 1, B = 1, C = – 5.
- Използваме формула (26), за да намерим разстоянието от т. М до правата q:
- Верен отговор А).

Гошо има в джоба си 3 монети по 10 ст., 4 монети по 20 ст., 3 монети по 50 ст. и 3 монети по 1 лв. Той изважда едновременно три монети по случаен начин. Каква е вероятността трите монети да са на обща стойност 1,20 лв.?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че всички възможни случаи са равни на комбинации на 13 елемента от 3-ти клас.
2. Намерете вероятността за изваждането на 1 монета по 1 лев и 2 монети по 10 ст., или 2 монети по 50 ст. и 1 монета по 20 ст.
3. Използвайте правилото за събиране на вероятностите получени в стъпка (2) и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме формулата за класическа вероятност.
- Определяме всички възможни случаи:
  - Общо всички монети са 13 (3 монети по 10 ст., 4 монети по 20 ст., 3 монети по 50 ст., 3 монети по 1 лв.).
  - Избират се три монети, като редът на избор няма значение, т.е. всички възможни случаи n са равни на комбинации на 13 елемента от 3-ти клас:
    n = C₁₃³ = = 2.11.13.
- За да е изпълнено условието са възможни събитията:
  - A = {1 лв. и 2.10 ст.}.
  - B = {2.50 ст. и 1.20 ст.}.
- Намираме вероятностите на тези две събития:
  - Благоприятните случаи за събитието А са:
    m_A = 3.C₃² = 3. = 3.3.
  - Намираме класическата вероятност от формула (7):
    P (A) = .
  - Благоприятните случаи за събитието B са:
    m_B = C₃².4= . 4 = 3.4.
  - Намираме класическата вероятност от формула (7):
    P (B) = .
- Прилагаме правилото за събиране, защото събитията А и В не зависят едно от друго (свързани са със съюза или):
  P (A) + P (B) = .
- Верен отговор Г).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 11. до 12. включително запишете в листа с отговори!

Решенията на неравенствата log_{x – 1} (5 – x) ≥ 2 са:

Вижте упътване

Упътване:

Решете логаритмичното неравенство.

Вижте решение
Решение:
- Намираме част от Дефиниционното Множество:
  5 – x > 0 x < 5.
- Основата зависи от неизвестното, затова разглеждаме два случая:
- Отговор: От (А) и (В) следва, че решенията на даденото неравенство са:
  .

В успоредника ABCD с BAD < 90° са построени височините CM (точка M е от правата AD) и CL (точка L е от правата AB). Да се намери разстоянието от точката L до правата MC, ако BC = 8 и CL = 4.

Вижте упътване
Упътване:
1. Докажете, че един от ъглите на успоредника е равен на 30°.
2. Постройте търсеното разстояние и намерете ъглите на получения правоъгълен триъгълник.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете търсеното разстояние.
Вижте решение
Решение:
- Височините са показани на чертежа.
- В ΔBLC (BLC = 90°) имаме: катет CL = 4 и хипотенуза BC = 8. Използваме Теорема 2 от катет, лежащ срещу 30° и получаваме, че LBC = 30°.
- (AD || BC) ∩ AB BAD = LBC = 30° (като съответни ъгли).
- LP – разстояние на т. L до правата MC, т.е. LPM = 90°.
- LP MP, AM MP, т.е. LP || AD HLP = BAD = 30° (като съответни ъгли).
- PLC = HLC – HLP = 90° – 30° = 60°.
- Прилагаме теорема за сбор на ъгли в ΔPCL (LPC = 90°):
  PLC + LCP = 90° 60° + LCP = 90° LCP = 30°.
- Използваме Теорема 1 от катет, лежащ срещу 30° в ΔPCL и получаваме:
  LP = LC = . 4 = 2.
- Отговор: Търсеното разстояние е 2.

Условията на задачи от 13. до 16. включително може да намерите тук, а указание за решаването им – тук.

Върни се нагоре Други тестове 2022 г. 2024 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура