Технически университет - тест по математика, 2024 г

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – София
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и Национално външно оценяване (НВО, 10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2024 година

ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Стойността на израза е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: В числител приложете подходяща формула за умножение на корени, а след това подходяща формула за съкратено умножение, а в знаменател – изнесете подходящо число пред корен.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Корените в числител ги умножаваме с помощта на формула (1), а след това използваме формула за съкратено умножение (5):
- Верен отговор Г).

Ако x₁ и x₂ са корените на уравнението x² + 3x + 1 = 0, то стойността на израза е равна на:
- А)2
- Б)
- В)
- Г)
- Д)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула за съкратено умножение (14) и формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За даденото квадратно уравнение прилагаме формулите на Виет:
- Използваме допълнителната формула за съкратено умножение (14) и заместваме с получените по-горе стойности:
- Верен отговор А).

Решенията на уравнението 4 – x = са:
- А)3
- Б)6 и 3
- В)6
- Г)5 и 4
- Д)7 и 2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете ирационалното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:

Бележка:
Понеже са дадени отговори, може и да НЕ решаваме ирационалното уравнение, а директно да проверим отговорите, при кои от тях се изпълнява даденото уравнение.
- Решаваме ирационалното уравнение:
- Верен отговор A).

Ако a = , при b ≠ 1 и b > 0, то стойността на израза log _a b ^{– 3} + log _b a е равна на:
- А)–
- Б)
- В)–
- Г)– 1
- Д)– 5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (4) и преобразуваме логаритмите така, че да приложим формули (8) и (9):
  .
- Верен отговор В).

За аритметична прогресия с общ член a_n е известно, че a₂ + a₃ = 12 и a₄ + a₁ – a₅ = – 24. Първият член на прогресията е:
- А)– 2
- Б)12
- В)24
- Г)– 24
- Д)– 12
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща теорема на аритметична прогресия и решете получената система.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Теорема 1 на аритметична прогресия:
  - a₂ = a₁ + d.
  - a₃ = a₁ + 2d.
  - a₄ = a₁ + 3d.
  - a₅ = a₁ + 4d.
- Решаваме системата чрез събиране:
- Верен отговор Д).

Сумата на първите n члена на геометрична прогресия с общ член a_n е 160. Ако a₃ – a₁ = 32 и a₄ – a₂ = 96, то броят n е равен на:
- А)5
- Б)4
- В)3
- Г)2
- Д)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи теореми на геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Теорема 1 на геометрична прогресия:
  - a₂ = a₁q.
  - a₃ = a₁q².
  - a₄ = a₁q³.
- Решаваме системата чрез делене::
- Тогава:
  a₁q² – a₁ = 32 a₁.3² – a₁ = 32 a₁ = 4.
- Използваме Теорема 2 на геометрична прогресия и намираме отговора::
- Верен отговор Б).

Сейф се отключва с код от три различни цифри. Вероятността сейфът да бъде отключен от първи опит, налучквайки три различни цифри, е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете вариации на 10 елемента от 3-ри клас.
2. Използвайте подходяща формула за класическа вероятност.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме всички възможни случаи n – Избираме три цифри (кодът се състой от 3 цифри) от общо 10 и редът на избор има значение, т.е. използваме формулата за вариации:
  n = V₁₀³ = 10.9.8 = 720.
- Благоприятните случаи са само 1, защото се прави само един опит, т.е. m = 1.
- Използваме формула (7) за класическа вероятност:
  P = .
- Верен отговор Г).

От наблюдения за брой правописни грешки в даден тест, допуснати от 10 ученика, е получена извадка: {2; 4; 5; 7; 1; 3; 5; 9; 1; x}. Ако модата на данните е 5, то сумата от медианата и модата на тази извадка е:
- А)9
- Б)7,5
- В)8
- Г)9,5
- Д)10
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определенията за мода и медиана.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме x:
  - Ако от дадената извадка премахнем x, то виждаме, че най-често срещаните числа са 1 и 5 (срещат се по 2 пъти). Всички останали числа не се повтарят.
  - По условие имаме, че модата на данните е 5.
  - За да не се промени модата, то x = 5.
- Подреждаме данните по възходящ ред: {1; 1; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 7; 9}.
- Данните на четен брой. Използваме определението за медиана и намираме:
  Медиана = = 4,5.
- Намираме отговора:
  Мода + Медиана = 5 + 4,5 = 9,5.
- Верен отговор Г).

Стойността на израза е:
- А)1
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте така, че в числител да използвате Тр. Ф. (5.1), а в знаменател – Таблица №2.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Числител и знаменател умножаваме с 2 и в числител използваме Тр. Ф. (5.1), а в знаменател – Таблица №2:
  = .
- Верен отговор В).

Ако cos α – sin α = , то изразът 27sin α cos α е равен на:
- А)4
- Б)5
- В)12
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Двете страни на даденото равенство повдигнете на квадрат и получете sin α cos α.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Повдигаме на квадрат и използваме Тр.Ф. (1.1):
  cos α – sin α = (cos α – sin α)² = cos² α – 2cos α sin α + sin² α = 1 – 2sin α cos α = sin α cos α = .
- Намираме отговора:
  27sin α cos α = 27 . = 12.
- Верен отговор В).

Решението на уравнението 16^x + – 3 = 0 е:
- А)– 1
- Б)4
- В)– 4
- Г)1
- Д)0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете показателното уравнение чрез полагане.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (6) и формула (4):
  16^x + – 3 = 0 4^2x + 2.4^x – 3 = 0.
- Полагаме 4^x = y > 0 и решаваме полученото квадратно уравнение:
  y² + 2y – 3 = 0, y₁ = – 3 < 0 ∉ ДМ_y, y₂ = 1.
- Връщаме се в полагането и при y₂ = 1 решаваме полученото показателно уравнение по формула (12):
  4^x = 1 4^x = 4⁰ x = 0.
- Верен отговор Д).

Броят на целите числа, които принадлежат на дефиниционното множество на функцията f (x) = е равен на:
- А)6
- Б)7
- В)8
- Г)9
- Д)10
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на ирационална функция

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ на ирационална функция (Свойство 1) и решаваме полученото дробно неравенство по метода на интервалите:
- Броят на целите числа, които принадлежат на този интервал са 6 (това са числата {– 4; – 3; – 2; – 1; 0; 1}.
- Верен отговор А).

Решенията на неравенството принадлежат на интервала:
- А)[0; 1]
- Б)
- В)(– ∞; 0]
- Г)[0; + ∞)
- Д)∅
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (19), за да решите логаритмичното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ на логаритмична функция:
- Решаваме логаритмичното неравенство по формула (19), защото основата на логаритъма е между 0 и 1:
  5x + 1 ≤ 1 – x x ≤ 0.
- Засичаме с ДМ и получаваме крайните решения:
  .
- Верен отговор Б).

В правоъгълен триъгълник височината към хипотенузата има дължина 2 cm и разделя хипотенузата на отсечки, чиято разлика е 3 cm. Синусът на по-големия остър ъгъл на триъгълника е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте подходяща формула за дадения правоъгълен триъгълник, за да намерите отсечките, на които височината разделя хипотенузата.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете АС и ABC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека CD е височина към хипотенузата в ΔABC, AD = x, BD = y. Търсим ABC = β.
- Прилагаме формула (6) за правоъгълния ΔABC (C = 90°):
  CD² = AD.DB 2² = x.y x.y = 4.
- Съставяме система от даденото и така полученото уравнение, която решаваме чрез заместване:
  y(3 + y) = 4 y² + 3y – 4 = 0, y₁ = 1, y₂ = – 4 < 0 ∉ ДМ_y.
- При y₁ = 1 намираме:
  x = 3 + y = 3 + 1 = 4.
- Така получихме: AD = x = 4, BD = y = 1, AB = AD + BD = 4 + 1 = 5.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔADC (D = 90°):
  AD² + CD² = AC² AC² = 4² + 2² = 20 AC = 2.
- Прилагаме формула (10) за правоъгълния ΔABC (C = 90°):
  sin β = .
- Верен отговор Б).

В правоъгълен трапец с остър ъгъл 30° е вписана окръжност с радиус r. Дължината на по-малката основа на трапеца е:
- А)(3 – )r
- Б)(3 – )r
- В)(3 – )r
- Г)2 r
- Д)r
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Теорема 4 на трапец, описан около окръжност, за да намерите височината на трапеца.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете по-дългото бедро на трапеца.
3. Използвайте Теорема 3 на трапец, описан около окръжност, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – описан правоъгълен трапец и от Теорема 4 на трапец, описан около окръжност следва, че:
  BC = DH = 2r.
- В ΔAHD (H = 90°):
  - имаме A = 30° и прилагаме формула (1):
    AD = 2DH = 2.2r = 4r.
  - Прилагаме формула (11):
    cos 30° = AH = 2r.
- HBCD – правоъгълник DC = HB = x. Тогава AB = AH + HB = 2r + x.
- Използваме Теорема 3 на трапец, описан около окръжност:
  AD + BC = AB + DC 4r + 2r = x + 2r + x x = DC = (3 – )r.
- Верен отговор В).

В равнобедрен триъгълник с основа 4 cm медицентърът лежи върху вписаната в триъгълника окръжност. Периметърът на триъгълника в cm е:
- А)24
- Б)16
- В)12
- Г)10
- Д)8
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изразете височината на равнобедрения триъгълник чрез радиуса на вписаната окръжност и използвайте теорема за медицентър.
2. Използвайте свойство на ъглополовяща в подходящ триъгълник и намерете бедрото на равнобедрения триъгълник.
3. Използвайте формула за периметър на триъгълник и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека т. О – център на вписаната окръжност, т. М – медицентър на ΔABC, СН – височина на ΔABC.
- Тогава: АО – ъглополовяща на A, OH = OM = r – радиус на вписаната окръжност, MH = MO + OH = 2r.
- Точка М – медицентър, т.е. CM = 2MH = 2.2r = 4r. Тогава CO = CM + MO = 4r + r = 5r.
- СН – височина в равнобедрен триъгълник, т.е. AH = BH = 2 cm.
- AO – ъглополовяща на BAC в ΔAHC, тогава:
  AC = BC = 10 cm.
- Намираме отговора:
  P_ΔABC = AB + BC + AC = 4 + 10 + 10 = 24 cm.
- Верен отговор А).

Сумата от най-голямата и най-малката стойност на функцията f (x) = 19 – 2x – x² в интервала [– 2; 1] е:
- А)19
- Б)29
- В)34
- Г)36
- Д)39
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Определете координатите на върха на параболата и посоката на този връх.
2. Ако върхът на параболата е в разглеждания интервал, то в тази точка имаме НГС или НМС (зависи от посоката на върхът).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Дадената функцията f (x) е квадратна. Графиката ѝ е парабола с връх нагоре, защото a = – 1.
- Намираме абсцисата на върха на параболата:
  x_V = – [– 2; 1].
- Понеже x_V = – 1 [– 2; 1], то от Свойство 3 на квадратна функция следва, че най-голямата стойност (НГС) ще бъде при върха на параболата и намираме тази стойност:
  НГС = f (– 1) = 19 – 2.(– 1) – (– 1)² = 20.
- Най-малката стойност (НМС) ще бъде в краищата на интервала [– 2; 1]:
  - f (– 2) = 19 – 2.(– 2) – (– 2)² = 19.
  - f (1) = 19 – 2.1 – 1² = 16.
  - f (1) < f (– 2) НМС = f (1) = 16.
- Намираме отговора:
  НГС + НМС = 20 + 16 = 36.
- Верен отговор Г).

В прав кръгов цилиндър с радиус на основата 5 cm е вписана правилна четириъгълна призма. Ако обемът на призмата 1 dm³, то образуващата на цилиндъра е:
- А)2 cm
- Б)5 cm
- В)2 dm
- Г)4 dm
- Д)50 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерете основен ръб на призмата.
2. Намерете лицето на основата на призмата.
3. От формулата за обем на призма намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие:
  - ABCD – квадрат (основа на правилна четириъгълна призма) AB = BC = CD = AD = b.
  - AC = 2r = 2.5 = 10 cm = 1 dm.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔABC (ABC = 90°):
  AC² = AB² + BC² 1 = b² + b² .
- Намираме лицето на квадрата ABCD:
  B = S_ABCD = b² = dm².
- По условие образуващата на цилиндъра l е равна на околен ръб на призмата (височината на призмата h), т.е. l = h.
- Използваме формулата за обем на призма:
  V_приз = B.h = 2 dm.
- Верен отговор В).

В правилна триъгълна пирамида основният ръб е 7 cm, а околната ѝ повърхнина е 168 cm². Косинусът на двустенния ъгъл при основата на пирамидата е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постройте търсения (ABC; ABM).
2. Използвайте формула (6), за да намерите височината на основата.
3. От формула за околна повърхнина на пирамида (формула 26) намерете апотемата на пирамидата.
4. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме двустенния ъгъл при основата на пирамидата:
  - CK – височина на равностранния ΔABC, т.е. т. К е среда на АВ.
  - МК – височина на равнобедрения ΔABM.
  - Използваме Теоремата за трите перпендикуляра:
    (ABC; ABM) = CKM = φ.
- В ΔABC използваме формула (6), защото СК – височина в равностранен триъгълник:
  CK = .
- т. О – медицентър на равностранния ΔABC и от Основна Зад. 4.1 получаваме:
  OK = .
- Използваме формулата за околна повърхнина на пирамида (формула 26):
  S = MK = 16.
- Прилагаме формула (11) за правоъгълния ΔKOM (O = 90°):
  cos φ = .
- Верен отговор Д).

Колко трицифрени числа могат да се образуват от цифрите 2, 0, 5, 6, 7 и 8 така, че във всяко трицифрено число да не се повтаря нито една цифра?
- А)90
- Б)100
- В)110
- Г)120
- Д)130
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формула за вариации, за да намерите всички трицифрени числа, които могат да се съставят с дадените цифри.
2. Намерете трицифрените числа, започващи с 0.
3. Извадете числата получени от стъпки (1) и (2).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме броят на всички трицифрени числа, които могат да се получат от дадените цифри – Избират се три цифри от общо 6, като редът им има значение, т.е. трябва да използваме формулата за вариации на 6 елемента от 3-ти клас:
  V₆³ = 6.5.4 = 120.
- Няма трицифренно число започващо с нула.
- Намираме броят на така получените трицифрени числа, започващи с 0 – Нулата е фиксирана на най-предното място, т.е. остава да изберем 2 цифри от общо 5, като редът им има значение. Отново използваме формулата за вариации на 5 елемента от 2-ри клас:
  V₅² = 5.4 = 20.
- Намираме отговора:
  V₆³ – V₅² = 120 – 20 = 100.
- Верен отговор Б).

Условията на задачите от ВТОРА ЧАСТ може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2023 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура