Технически университет - тест по математика, 2023 г

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – София
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и Национално външно оценяване (НВО, 10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2023 година

ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Ако a = , то стойността на израза е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте подходящи формули, за да направите така, че основите на логаритмите да са равни.
2. Използвайте подходящи формули, за да пресметнете израза.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- В дробта използваме формула (5), а за логаритъма – формули (6) и (7):
- Използваме формули (5), (4), преобразуваме и формула (11):
- Верен отговор В).

Стойността на границата е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)1
- Д)– 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете граница с неопределеност .

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Имаме граница с неопределеност . Премахваме я, като от числител и знаменател изнесем неизвестното с най-висока степен (n²) и използваме формула (8):
- Верен отговор Б).

Ако корените x₁ и x₂ на уравнението x² – 3ax + a² = 0 удовлетворяват равенството x₁² + x₂² = 28, то стойностите на параметъра a са:
- А)± 2
- Б)– 1; 2
- В)– 2; 1
- Г)1; 2
- Д)1; 3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет и подходяща формула за съкратено умножение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За даденото квадратно уравнение прилагаме формулите на Виет:
- Използваме допълнителната формула за съкратено умножение (14) и заместваме с получените по-горе стойности:
  x₁² + x₂² = 28 (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 28 (– 3a)² – 2.a² = 28 = a² = 4 a = ± 2.
- Верен отговор A).

Решението на неравенството – x е:
- А)(– ∞; – 2] (0; 2]
- Б)(– ∞; – 1] (0; 1]
- В)(– ∞; – 1] [1; + ∞)
- Г)[– 2; 0) [2; + ∞)
- Д)[– 2; 0) (0; 2]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете дробното неравенство, като преди това го приведете в нормален вид.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме Дефиниционното Множество:
  ДМ: x ≠ 0.
- Преобразуваме дробното неравенство в основен вид и го решаваме по метода на интервалите:
- Верен отговор А).

Ако f (1) = 4 и f (– 1) = 0, където f (x) е квадратната функция f (x) = x² + 2ax + b (a и b са параметри), то е:
- А)3
- Б)– 1
- В)– 2
- Г)1
- Д)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте подходящи свойства на квадратна функция и от дадените две равенства съставете система, за да намерете параметрите a и b.
2. Пресметнете логаритъма и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез събиране, за да намерим параметрите a и b:
- Квадратната функция f (x) е:
  f (x) = x² + 2ax + b = x² + 2x + 1.
- Използваме формула (5) и намираме логаритъма, като използваме формула (6):
  log₂ = log₂ 2 ^{– 2} = – 2.
- Намираме отговора:
  = f (– 2) = (– 2)² + 2.(– 2) + 1 = 1.
- Верен отговор Г).

Решението на системата е:
- А)(1; 2)
- Б)
- В)(0; – 1)
- Г)(4; 1)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез полагане.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Корените на уравнението са:
- А)0; 2
- Б)±
- В)1; 4
- Г)1; 2
- Д)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
Разгледайте 4 случая:

Основата е:
1. равна на – 1;
2. равна на 0;
3. равна на 1;
4. различна от тези стойности и решете полученото ирационално уравнение и след това показателно уравнение.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
I начин:
Чрез директна проверка установяваме, че решенията на даденото уравнение са x₁ = 1 и x₂ = 2.
II начин:
- В даденото уравнение неизвестното е в основата и в степенния показател.
- Разглеждаме четири случая:
  1. Нека x = – 1 и проверяваме дали това число е решение:
    .
    
    Това уравнение няма решение, защото подкоренната величина е отрицателно число, т.е. числото x = – 1 НЕ е решение.
  2. Нека x = 0 и проверяваме дали това число е решение:
    .
    
    Това уравнение няма решение, защото няма число 0⁰, т.е. числото x = 0 НЕ е решение.
  3. Нека x = 1 и проверяваме дали това число е решение:
    ,
    
    т.е. числото x = 1 Е решение.
  4. Сега вече сме сигурни, че x е различно от горните стойности, затова решаваме даденото показателно уравнение:
    - Решаваме уравнението като ирационално и затова повдигаме двете му страни на квадрат:
    - Това уравнение е показателно с равни основи и го решаваме по формула (12):
      Решенията на това уравнение са: x = 0 ∉ ДМ, x = 4 ДМ, т.е. x = 4 Е решение.
- Така намерихме, че даденото уравнение има две решения: x₁ = 1 и x₂ = 4.
- Верен отговор В).
Бележка:
Виждате, че I начин е по-бърз, но трябва да имаме отговори. II начин може да използваме, когато нямаме дадени отговори.

Решението на неравенството |x| – |x – 2| > 1 е:
- А)(0; 2)
- Б)
- В)
- Г)(0; + ∞)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящ метод за решаването на модулното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме метода на подинтервалите:
  Стъпка А: Нулираме всеки от модулите:
  
  x = 0;
  
  x – 2 = 0 x = 2.
  
  Стъпки В и С: Нанасяме тези числа върху числовата ос и определяме знаците на всяка подмодулна величина:
  
  Стъпка D: Разглеждаме случаите:
  1. При x (– ∞; 0) заместваме модулите със знаците от таблицата и решаваме полученото неравенство:
    – x + x – 2 > 1 0.x > 3 x ∅.
  2. При x [0; 2):
    x + x – 2 > 1 2x > 3 x > . Засичаме с интервала [0; 2) и получаване, че решенията в този интервал са .
  3. При x [2; + ∞):
    x – x + 2 > 1 0.x > – 1 x [2; + ∞).
  Стъпка E: От 1), 2) и 3) следва, че решенията на даденото неравенство са x (; + ∞).
- Верен отговор В).

Решенията на неравенството > x са:
- А)[– 2;
- Б)
- В)[0;
- Г); 2)
- Д)[– 2; 0]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (9), за да решите ирационалното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Неравенството е ирационално и от формула (9) получаваме две системи:
- От А) и В) получаваме крайните решения:
  x [– 2; .
- Верен отговор А).

Коренът на уравнението tg x = sin 2x, който принадлежи на интервала , е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте подходящи тригонометрични формули и преобразувайте даденото уравнение до уравнение от вид (11).
2. Използвайте формула (12), за да получите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме Дефиниционното Множество:
  ДМ: x ≠ π + kπ.
- Използваме тригонометрични формули (1.3) и (5.1), и преобразуваме полученото уравнение:
  tg x = sin 2x 2sin x cos x sin x – 2sin x cos² x = 0 sin x (1 – 2cos² x) = 0.
- Решаваме уравнение от вид (11):
  - Решаваме основното тригонометрично уравнение:
    sin x = 0 x = kπ
  - Решаваме тригонометричното уравнение, като го преобразуваме до основно тригонометрично:
    1 – 2cos² x = 0 cos x =
- Верен отговор Г).

Стойностите на параметъра p, за които уравнението притежава решение, са в интервала:
- А)
- Б)
- В)
- Г)[7; 8]
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете стойностите на p, за които ирационалното уравнение има решение.
2. Освободете се от корена и намерете стойностите на p, за които полученото тригонометрично уравнение ще има решение.
3. Намерете отговора от стойностите на p, получени в предните две стъпки.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От формула (7) стигаме до извода, че даденото ирационално уравнение ще има решение, ако:
  p – 7 ≥ 0 (A): p ≥ 7.
- В даденото уравнение се освобождаваме от корена:
- Това уравнение е основно тригонометрично и то ще има решение, ако:
- Засичаме решенията от (А) и (В) и получаваме отговора:
- Верен отговор Д).

Ако числата a; 4; c в този ред образуват аритметична прогресия и числата a; 4; (a + c) в този ред образуват геометрична прогресия, то c е равно на:
- А)2
- Б)3
- В)10
- Г)8
- Д)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо свойство на аритметична и геометрична прогресия, и от получената система намерете отговора.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Свойство 1 на аритметичната и геометричната прогресия и решаваме получената система:
- Намираме отговора:
  a + c = 8 2 + c = 8 c = 6.
- Верен отговор Д).

Ако височината в правоъгълен триъгълник разделя хипотенузата му на части с дължини p и q, то лицето на триъгълника е:
- А) (p + q)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули за правоъгълен триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме формула (6) за височината h_c към хипотенузата:
  h_c² = p.q h_c = .
- По условие хипотенузата c е:
  c = p + q.
- Прилагаме формула (14), за да намерим отговора:
  S = .
- Верен отговор А).

Ако бедрото и двете основи в равнобедрен трапец са равни съответно на 2 cm, 5 cm и 2 cm, то дължината на диагонала на трапеца в cm е:
- А)2
- Б)4 +
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Постройте височината СН на трапеца и от подходящи правоъгълни триъгълници намерете: BH, AH, CH, AC.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека CH = h е височина в равнобедрения трапец и използваме формула (15):
  BH = .
  
  AH = .

Ако хордата AB дели окръжност с център O и радиус r на две дъги, дължините на които се отнасят както 1 : 7, то периметърът на ΔAOB е:
- А)(2 + )r
- Б)(2 + )r
- В)(2 + )r
- Г)(2 + )r
- Д)(3 + )r
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От даденото отношение намерете дъгите.
2. Използвайте формула (5), за да намерите AOB.
3. В подходящ триъгълник използвайте косинусова теорема и намерете страната АВ, а след това отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение записваме, че дъгите са x и 7x, и използваме това, че дължината на окръжност е равна на 360°:
  x + 7x = 360° x = 45°.
- AOB – централен, тогава:
  AOB = x = 45°.
- Прилагаме косинусова теорема за ΔABO и използваме Таблица №1:
  AB² = AO² +BO² – 2AO.BO.cos 45° = r² + r² – 2.r.r. = (2 – )r² AB = . r.
- Намираме отговора:
  P_ΔABO = 2AO + AB = 2r + . r = (2 + )r.
- Верен отговор Б).

Ако в правилна четириъгълна пирамида ABCD с основа ABC точките P и Q лежат съответно на ръбовете AC и BC, като PC : AC = QC : BC = μ, където 0 < μ < 1, то отношението на обемите на пирамидите BQPD и ABQPD е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че ΔBQP и ΔCQP имат обща височина, и образувайте отношението на лицата им.
2. Докажете, че ΔCQP и ΔCBA са подобни, и използвайте формула (4), за да намерите отношението от лицата на ABQP и ΔBQP.
3. Използвайте Твърдение (31) за обемите на търсените пирамиди и ги разделяме.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

Основата на четириъгълна пирамида е правоъгълник със страни 250 mm и 24 cm. Ако обемът на пирамидата е 0,02 m³, то височината на пирамидата е:
- А)24 dm
- Б)0,3 dm
- В)10 dm
- Г)0,8 dm
- Д)240 dm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От формулата за обем на пирамида намерете отговора.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Забелязваме, че всички отговори са в дециметри и затова превръщаме всички дадени величини в dm:
  - Правоъгълникът има страни: a = 250 mm = 2,5 dm, b = 24 cm = 2,4 dm.
  - Обемът на пирамидата е V = 0,02 m³ = 20 dm³.
- Намираме лицето на основата, която е правоъгълник:
  B = a.b = 2,5.2,4 = 6 dm².
- Използваме Твърдение (31) за обем на пирамидата:
  V = h = 10 dm.
- Верен отговор В).

Студент е депозирал в банка x лв., при сложна годишна лихва 2%. Ако след две години депозитната сума (след олихвяване) е достигнала до 11 444,40 лв., то стойността на x е:
- А)10 000
- Б)11 200
- В)10 400
- Г)9 900
- Д)11 000
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулата за сложна лихва.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие имаме дадено: p% = 2%, n = 2, K_n = 11 444,40. Търси се K₀ = x.
- Използваме формула за сложна лихва:
  K_n = K₀. 11 444,40 x = 11 000.
- Верен отговор Д).

Заплатите в предприятие са посочени в таблицата Ако ръководството желае средната заплата на предприятието да се увеличи с 5 %, то с колко процента трябва да се увеличи най-ниската заплата (като останалите заплати се запазят).
- А)10 %
- Б)17,5 %
- В)22,5 %
- Г)15 %
- Д)20 %
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Приложете формула (9) и намерете средната заплата.
2. Намерете средната заплата след 5 % увеличение.
3. Намерете най-ниската заплата след увеличението и пресметнете с колко лв. е увеличена най-ниската заплата.
4. Решете Процент – Основна задача от III вид, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме формула (9) и намираме средната заплата преди увеличението:
- Намираме средната заплата след увеличението:
  Ср.З._сл = Ср.З._пр + 5 % от Ср.З._пр = 1680 + 0,05.1680 = 1 764 лв.
- Нека y лв. е новата най-ниска цена след увеличението и отново прилагаме формула (9), за да намерим y:
- Намираме с колко се е увеличила:
  Ср.З._сл – Ср.З._пр = 1764 – 1410 = 210 лв.
- Нека търсеното увеличение да е x% и прилагаме Процент – Основна задача от III вид:
  x % от 1 200 = 210 0,01x.1200 = 210 x = 17,5.
- Верен отговор Б).

В кутия са поставени 2 сини, 3 червени и a зелени моливи. Ако вероятността при случаен избор на два молива те да са червени е , то числото a е равно на:
- А)1
- Б)2
- В)3
- Г)4
- Д)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Броят на всички възможни случаи n е равен на комбинации на 5 + a елемента от втори клас, а броят на благоприятните случаи m е равен на комбинации на 3 елемента от втори клас и използвайте формула за класическа вероятност.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Означаваме събитието A = {Да се извадят 2 червени молива}.
- Намираме всички възможни случаи n – Избират се 2 молива от общо 5 + a, като редът на избор няма значение, т.е. броят на всички възможни случаи е равен на комбинации на 5 + a елемента от втори клас:
  n = C_{(5 + a)}² = .
- Намираме благоприятните случаи m – Избират се 2 червени молива от общо 3, като редът на избор няма значение, т.е. благоприятните случаи са равни на комбинации на 3 елемента от втори клас:
  m = C₃² = = 3.
- Използваме формула за класическа вероятност:
  P (A) = a² + 9a – 52 = 0, a₁ = 4, a₂ = – 13.
- Числото a е естествено число, защото е брой на моливи, т.е. отговорът е a₁ = 4.
- Верен отговор Г).

Условията на задачите от ВТОРА ЧАСТ може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2022 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура