ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

1. Стойността на израза при a = – е равна на:
   • А)–
   • Б)
   • В)
   • Г)1
   • Д)
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване: Преобразувайте израза и след това заместете с дадената стойност на a.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • Привеждаме под общ знаменател в първата скоба и след това прилагаме формула (5) за съкратено умножение:

---

2. Изразът е равен на:
   • А)–
   • Б)–
   • В)
   • Г)
   • Д)2
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване: Рационализирайте дробите, в които има корен в знаменател и извършете означените действия.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • Премахваме корените от знаменател (рационализираме дробите):
   • Прилагаме формула (8) и извършваме съответните действия:
   • Верен отговор Б).

---

3. Ако x₁ и x₂ са корените на квадратното уравнение x² – 4x – 4 = 0, то изразът x₁⁴ – x₂⁴ е равен на:
   • А)300
   • Б)384
   • В)390
   • Г)390
   • Д)400
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване: Използвайте формулите на Виет.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • Последователно използваме формула за съкратено умножение (2) и допълнителна формула (14):
     x₁⁴ – x₂⁴ = (x₁² – x₂²)(x₁² + x₂²) = (x₁ – x₂)(x₁ + x₂)[(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂].
   • Във формулите на Виет няма израз x₁ – x₂, но може да се преобразува така, че да има формулите на Виет:
   • За квадратното уравнение използваме Теорема на Виет и заместваме:
   • Верен отговор Б).

---

4. Всички корени на уравнението ( – x – 2)(4^x – 2^{x + 1} + 1) = 0 принадлежат на интервала:
   • А)[0, 4)
   • Б)[4, 5)
   • В)[5, 6)
   • Г)[6, 7)
   • Д)[7, 10)
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване:

   1. Решете уравнение от вид (11).
   2. За ирационалното уравнение използвайте формула (7), а показателното уравнение решете чрез полагане.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • Уравнението е от вид (11) и затова се разпада на две уравнения:

     (A): – x – 2 = 0.

     (Б): 4^x – 2^{x + 1} + 1 = 0.

   • Решаваме ирационалното уравнение (А):
     • Свеждаме го до основен вид:
       – x – 2 = 0 = x + 2.
     • Използваме формула (7):
   • • Прилагаме формула (6):
       4^x – 2^{x + 1} + 1 = 0 4^x – 2.2^x + 1 = 0.
     • Полагаме:
       2^x = y ≥ 0.
     • Решаваме полученото квадратно уравнение:
       4^x – 2.2^x + 1 = 0 y² – 2y + 1 = 0 (y – 1)² = 0 y – 1 = 0 y = 1.
     • Връщаме се в полагането и решаваме полученото основно показателно уравнение:
       2^x = 1 2^x = 2⁰ x = 0.
   • Получихме, че решенията на даденото уравнения са: x₁ = 1 и x₂ = 0.
   • Тези две решения принадлежат на интервала от отговор А).
   • Верен отговор А).

---

5. За аритметичната прогресия с общ член a_n е известно, че a₄ + a₆ = 22. Сборът на първите 9 члена на прогресията е:
   • А)72
   • Б)75
   • В)80
   • Г)89
   • Д)99
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване: Използвайте Свойство 2 и Теорема 2 на аритметична прогресия.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • От Свойство 2 на аритметична прогресия получаваме:
     a₁ + a₉ = a₄ + a₆ = 22.
   • Използваме първата формула от Теорема 2 на аритметична прогресия:
     S₉ = .9 = 99.
   • Верен отговор Д).

---

6. За растяща геометрична прогресия с общ член a_n > 0 е известно, че a₅ – a₁ = 5(a₃ – a₁). Частното на прогресията е:
   • А)
   • Б)2
   • В)
   • Г)3
   • Д)4
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване: Използвайте подходяща теорема на геометрична прогресия.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • Използваме Теорема 1 на геометрична прогресия:
     • a₃ = a₁ . q².
     • a₅ = a₁ . q⁴.
   • Заместваме в условието:
   • По условие имаме растяща геометрична прогресия, т.е. q > 1 или q = 2.
   • Верен отговор Б).

---

7. Сборът на медианата и броя на модата на извадката 11, 2, 5, 1, 2, 6, 8, 7, 6, 2, 6 е равен на:
   • А)4
   • Б)5
   • В)6
   • Г)8
   • Д)9
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване: Използвайте определенията за медиана и мода.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • Подреждаме извадката във възходящ ред:
     1, 2, 2, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 11.
   • Използваме определението на медиана:
     • Данните са нечетен брой.
     • Медианата е равна на числото по средата, а това е числото 6.
   • Използваме определението на мода – Най-често повтарящите се числа са две: числото 2 (среща се 3 пъти) и числото 6 , т.е. броят на модите са 2.
   • Намираме отговора:
     Медиана + брой Мода = 6 + 2 = 8.
   • Верен отговор Г).

---

8. Четири топки, от които точно две са бели, по случаен принцип се подреждат в редица. Вероятността белите топки да са една до друга е:
   • А)
   • Б)
   • В)
   • Г)
   • Д)1
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване:

   1. Намерете всички възможни случаи, които са равни на пермутации на четири елемента.
   2. Белите топки ги разгледайте като един блок и намерете пермутации на три елемента, умножете ги по 2 и това ще е равно на благоприятните случаи.
   3. Използвайте формула (7), за да намерите отговора.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • Намираме всички възможни случаи n: Намираме пермутации на четири елемента, защото всички топки са 4 и всичките участват в подредбата:
     n = P₄ = 4! = 4.3.2.1 = 24.
   • Намираме благоприятните случаи m:
     • Разглеждаме двете бели топки като един блок.
     • Остават три елемента (2 топки с друг цвят и един блок бели топки). Намираме пермутации на тези три елемента:
       P₃ = 3.2.1 = 6.
     • Белите топки в блока могат да се подредят по 2 начина.
     • Намираме благоприятните случаи m:
       m = 2.P₃ = 2.6 = 12.
   • Използваме формула (7) и намираме отговора:
     P = .
   • Верен отговор Б).

---

9. Ако sin α = – , 270° < α < 360°, то стойността на израза sin (α + 45°) е:
   • А)
   • Б)
   • В)
   • Г)
   • Д)
   Проверете отговор

   Моля, изберете отговор.

   Отговорът е грешен.

   Упътване:

   1. Използвайте Тригонометрична Формула (4.1).
   2. Използвайте основното тригонометрично равенство и намерете cos α.

   Отговорът е верен.

   Вижте решение

   Решение:

   • Използваме основното тригонометрично равенство:
   • По условие 270° < α < 360°, т.е. α е в IV квадрант и от Таблица №1 следва, че cos α > 0 или cos α = .
   • Използваме Тригонометрична Формула (4.1) и Таблица №1:
     sin (α + 45°) = sin α cos 45° + cos α sin 45° = – .
   • Верен отговор А).

---

10. Изразът 2^a + 6^b, където , , е равен на:
    • А)3
    • Б)5
    • В)6
    • Г)7
    • Д)8
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Използвайте формула (5), за да преобразувате изразите а и b.
    2. Използвайте формула (11), за да получите отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Използваме формула (5):
      
    • Използваме формула (11):
    • Верен отговор Г).

---

11. Границата е равна на:
    • А)–
    • Б)
    • В)
    • Г)2
    • Д)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Намерете граница с неопределеност .

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Разлагаме числител на множители:
      • Намираме корените на квадратното уравнение:
        2x² – x – 1 = 0, x₁ = – , x₂ = 1.
      • Разлагаме квадратния тричлен на множители и преобразуваме:
        2x² – x – 1 = 2.(x + )(x – 1) = 2. . (x – 1) = (2x + 1)(x – 1).
    • Използваме формула за съкратено умножение (5), за да разложим знаменател на множители:
      x² – 1 = (x – 1)(x + 1).
    • Намираме гграница с неопределеност :
    • Верен отговор В).

---

12. Даден е правоъгълен триъгълник с катети 18 cm и 24 cm. Разстоянието между центровете на неговите вписана и описана окръжност е:
    • А)3 cm
    • Б)3 cm
    • В)4 cm
    • Г)4 cm
    • Д)7 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Използвайте формули (8) и (9), за да намерите радиусите на описаната и вписаната окръжности.
    2. Ако т. Р и т. N са допирните точки на вписаната окръжност до хипотенузата АВ и катета ВС, използвайте Фиг. 3 и намерете отсечката ВР.
    3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете търсеното разстояние.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • ΔABC – правоъгълен и нека т. О – център на описаната окръжност, т. J – център на вписаната окръжност и JP = JN = r е радиус на вписаната окръжност.
    • Тогава търсеното разстояние е отсечката JO.
    • Разглеждаме ΔABC (ACB = 90°):
      • Прилагаме Питагорова теорема:
        AB² = AC² + BC² = 24² + 18² = 900 AB = 30 cm.
      • Прилагаме формула (8), като R – радиус на описаната около ΔABC окръжност:
        AB = 2R 30 = 2R R = 15 cm.
      • CO – медиана и прилагаме формула (2):
        BO = AO = CO 15 cm.
      • Прилагаме формула (9):
        r = JP = = 6 cm.
      • От допирателни до окръжност в правоъгълен триъгълник следва, че:
        BP = BN = BC – r = 18 – r = 18 – 6 = 12 cm.
    • От чертежа получаваме:
      OP = BO – BP = 15 – 12 = 3 cm.
    • Прилагаме Питагорова теорема за правоъгълния ΔOPJ (P = 90°):
      OJ² = OP² + JP² = 3² + 6² = 45 OJ = 3 cm.
    • Верен отговор А).

---

13. Даден е успоредник ABCD с диагонали AC и BD, BCD = 60°. Ъглополовящата на DAB пресича страната CD точка E така, че DE = 12 cm, EC = 9 cm. Лицето на успоредника е:
    • А)126 cm²
    • Б)130 cm²
    • В)130 cm²
    • Г)130 cm²
    • Д)134 cm²
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Използвайте условието и кръстни ъгли, за да докажете, че ΔAED е равнобедрен и намерете AD.
    2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на успоредника.
    3. Използвайте формула (8), за да намерите отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • ABCD – успоредник тогава:
      AB = CD = DE + CE = 12 + 9 = 21 cm.
    • По условие АЕ – ъглополовяща на BAD = 60°, т.е.:
      BAE = EAD = 30°.
    • Прилагаме Теорема-свойство за успоредните прави (AB || CD) ∩ AE:
      DEA = BAE = 30° (като кръстни ъгли).
    • Така доказахме, че ΔAED – равнобедрен, т.е.:
      AD = DE = 12 cm.
    • Построяваме DH – височина в успоредника ABCD.
    • Прилагаме формула (10) за правоъгълния ΔAHD:
      sin HAD = sin 60° = DH = 6.
    • Прилагаме формула (8) и намираме отговора:
      S_ABCD = AB.DH = 21.6. = 126 cm².
    • Верен отговор А).

---

14. Даден е равнобедрен ΔABC с основа AB = 30 cm и височина AE BC (E BC). Ако AE = 24 cm, то лицето на ΔABC е:
    • А)156 cm²
    • Б)300 cm²
    • В)310 cm²
    • Г)350 cm²
    • Д)426 cm²
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Използвате подходяща формула за лице на триъгълник, за да намерите връзката между бедрото и височината към основата на равнобедрения триъгълник.
    2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината към основата на равнобедрения триъгълник.
    3. Използвайте подходяща формула за лице, за да намерите отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Нека бедрата на равнобедрения ΔABC са AC = BC = a, а височината към основата му е CH = h.
    • Използваме формула (1) за ΔABC:
    • CH – височина в равнобедрения ΔABC, т.е. СН – медиана или BH = AH = 15 cm.
    • Прилагаме Питагорова теорема за ΔBHC (H = 90°):
      CH² + BH² = BC² + 15² = a² a² = 625 a = 25 cm.
    • Отново използваме формула (1) за ΔABC:
      S_ΔABC = = 300 cm².
    • Верен отговор Б).

---

15. Най-малкото цяло число, което удовлетворява неравенството е:
    • А)90
    • Б)100
    • В)120
    • Г)130
    • Д)1 000
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Решете логаритмичното неравенство чрез полагане.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    

---

16. Ако върху графиката на функцията y = x⁴ + лежи точка с абсциса x = 1 и ордината y = 22, то най-голямата стойност на параметъра a е:
    • А)1
    • Б)10
    • В)17
    • Г)18
    • Д)19
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Използвайте това, че една точка M (x₁; y₁) лежи на графиката на функцията y = f (x), ако е изпълнено равенството y₁ = f (x₁).

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • От теорията знаем, че една точка с координати x = 1 и y = 22 лежи върху графиката на функция y, ако е изпълнено равенството y = f (x), т.е.:
      
    • Превръщаме радианите в градуси и използваме Таблица №2:
      • = 450°.
      • Използваме Таблица № 2 и Таблица №1:
        sin 450° = sin (360° + 90°) = sin 90° = 1.
      • Решаваме квадратното уравнение:
        sin = 21 a² – 20a + 19 = 0 a₁ = 1, a₂ = 19.
    • По условие се търси най-голямата стойност на a, т.е. a = 19.
    • Верен отговор Д).

---

17. В окръжност е вписан правоъгълник с периметър 56 cm, чието лице е най-голямо измежду лицата на всички правоъгълници, вписани в тази окръжност. Радиусът на окръжността е:
    • А)5 cm
    • Б)6 cm
    • В)7 cm
    • Г)8 cm
    • Д)10 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Използвайте това, че „От всички правоъгълници с равен периметър, то най-голямо лице ще има този правоъгълник, който има равни съседни страни, т.е. квадратът“ и намерете страната на квадрата.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Всички вписани правоъгълници имат един и същи периметър.
    • От всички правоъгълници с равен периметър квадратът е с най-голямо лице, т.е. по условие вписаният правоъгълник е квадрат.
    • Намираме страната на този квадрат:
      P_ABCD = 4a = 56 a = 14.
    • Центърът на описаната окръжност около дадения правоъгълник лежи на пресечната точка на диагоналите, т.е. CO = AO = R.
    • Прилагаме Питагорова теорема за ΔABC (B = 90°):
      a² + a² = (2R)² 14² + 14² = 4R² R² = 98 R = 7 cm.
    • Верен отговор В).

---

18. Трапец ABCD (AB || CD) с диагонал AC = 20 cm и височина DH = 16 cm (H AB) е вписан в окръжност. Лицето на трапеца е:
    • А)98 cm²
    • Б)192 cm²
    • В)201 cm²
    • Г)210 cm²
    • Д)215 cm²
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете АН.
    2. Докажете, че трапецът е равнобедрен и използвайте формули (15) и (19).

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Прилагаме Питагорова теорема за ΔAHC (H = 90°):
      AC² = AH² + HC² 20² = AH² + 16² AH² = 144 AH = 12.
    • По условие ABCD е трапец, който е вписан в окръжност и от Теорема 3 следва, че той е равнобедрен и прилагаме формула (15):
      = AH = 12.
    • Използваме формула (19):
      S_ABCD = .CH = 12.16 = 192 cm².
    • Верен отговор Б).

---

19. Медицентърът на равнобедрен триъгълник лежи на вписаната в него окръжност. Ако лицето на триъгълника е 12 cm², то радиусът на тази окръжност е:
    • А)1 cm
    • Б)2 cm
    • В)3 cm
    • Г)4 cm
    • Д)5 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Нека с r да отбележим търсения радиус, а височината на триъгълника е СН. Използвайте свойство на медицентър и докажете, че CH = 6r.
    2. Използвайте формула (5) за подходящ правоъгълен триъгълник и докажете, че AC = AB.
    3. Използвайте подходяща формула за лице на ΔABC и Питагорова теорема за ΔAHC, за да намираме отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Нека за даденият ΔABC имаме следните означения:
      • т. М е медицентър;
      • т. О е център на вписаната окръжност;
      • СН – височина;
      • AH = BH = x, защото СН е височина и медиана в равнобедрен триъгълник.
    • По условие т. М лежи на вписаната в ΔABC окръжност, т.е.:
      MO = OH = r MH = 2r.
    • Използваме свойство на медицентър в триъгълник:
    • От чертежа получаваме:
      • CH = CM + MH = 4r + 2r = 6r.
      • CO = CM + MO = 4r + r = 5r.
    • AO е ъглополовяща в ΔAHC, защото т. О – център на вписаната в ΔABC окръжност и използваме формула (5):
    • Намираме отговора:
      • Използваме формула (1) за ΔABC:
      • Прилагаме Питагорова теорема за ΔAHC (H = 90°) и заместваме x:
        AH² + CH² = AC² x² + (6r)² = (5x)² 3r² = 2.x² = 2. r⁴ = 16 r = 2 cm.
    • Верен отговор Б).

---

20. Плътно метално тяло с формата на кълбо е претопено без загуба на метал в прав кръгов конус с височина, равна на радиуса на кълбото. Синусът на ъгъла между образуваща на конуса и основата му е:
    • А)
    • Б)
    • В)
    • Г)
    • Д)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Използвайте обемите на конус (Твърдение 10) и кълбо (Твърдение 5), и условието на задачата, за да докажете, че радиусът на конуса е 2 пъти по-голям от радиуса на кълбото.
    2. Използвайте Тригонометрична Формула (1.3) и Тригонометрична Формула (1.1), за да намерите отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Нека да отбележим: r_конус – радиус на конуса, h – височина на конуса, V_конус – обем на конуса, r_кълбо – радиус на кълбото, V_кълбо – обем на кълбото.
    • По условие имаме V_конус = V_кълбо, h = r_кълбо.
    • За обема на конуса използваме Твърдение (10), а за обема на кълбото – Твърдение (5):
    • Ъгълът между образуващата АМ на конуса и основата му е BAM = α.
    • Прилагаме формула (10) за ΔAOM (AOM = 90°):
      tg α = .
    • Намираме отговора:
      • Прилагаме Тригонометрична Формула (1.3):
        tg α = sin α = x, cos α = 2x.
      • Прилагаме основното тригонометрично равенство:
        sin² α + cos² α = 1 x² + (2x)² = 1 x² = x = .
      • Така получихме, че sin α = x = .
    • Верен отговор А).

Решени задачи от ВТОРА ЧАСТ