ВТОРА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 21. до 30. включително отбележете в листа с отговори!

21. Най-малкото цяло число, което е решение на неравенството 4^x + 2^{x + 3} > 20 принадлежи на интервала:
    • А)(– ∞; – 10)
    • Б)[– 10; – 3]
    • В)[– 3; 1)
    • Г)[1; 3)
    • Д)[3; + ∞)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Решете показателното неравенство чрез полагане.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Използваме формули (1) и (6), и преобразуваме показателното неравенство:
      4^x + 2^{x + 3} > 20 2^2x + 2³.2^x – 20 > 0.
    • Полагаме 2^x = y > 0 и получаваме квадратното неравенство:
      y² + 8y – 20 > 0.
    • Решенията му са:
      y (– ∞; – 10) (2; + ∞).
    • Засичаме с ДМ_y:
      y (2; + ∞) или y > 2.
    • От полагането получаваме показателното неравенство:
      2^x > 2 x > 1, т.е. x (1; + ∞).
    • Най-малкото цяло число, което принадлежи на този интервал е x = 2.
    • За това число имаме 2 [1; 3).
    • Верен отговор Г).

---

22. Броят на решенията на уравнението 3x² + 15x + 2 2 е:
    • А)0
    • Б)1
    • В)2
    • Г)3
    • Д)4
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Решете ирационалното уравнение чрез полагане.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Прибавяме и изваждаме едно и също число, за да може да положим по удобен начин:
      3x² + 15x + 2 2 3x² + 15x + 1 – 1 + 2 2.
    • Полагаме:
      3x² + 15x + 1 = y², където ДМ_y: y ≥ 0.
    • Решаваме полученото квадратно уравнение:
      y² – 1 + 2y = 2 y² + 2y – 3 = 0; y₁ = 1, y₂ = – 3 ∉ ДМ_y.
    • Заместваме в полагането и решаваме полученото ирационално уравнение:
      1 ↑² 3x² + 15x + 1 = 1 3x² + 15x = 0 3x(x + 5) = 0 x₁ = 0, x₂ = – 5.
    • Така доказахме, че даденото ирационално уравнение има две решения.
    • Верен отговор В).

---

23. Най-голямото цяло число, което е решение на неравенството x + 2 принадлежи на интервала:
    • А)(– ∞; – 4)
    • Б)[– 4; 1)
    • В)[1; 2)
    • Г)[2; 3)
    • Д)[3; + ∞)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Решете ирационалното неравенство.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Използваме формула (9), защото ирационалното неравенство е в основен вид и решаваме две системи:
    • Решенията на даденото неравенство са:
      x (– ∞; – 3].
    • Най-голямото цяло число, което принадлежи на този интервал е x = – 3.
    • За това число имаме – 3 [– 4; 1).
    • Верен отговор Б).

---

24. Множеството от стойностите на функцията f (x) = е:
    • А)(– ∞; 0)
    • Б)
    • В)
    • Г)
    • Д)(12; + ∞)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Изследвайте функцията f (x) за Най-малка стойност (НМС) и Най-голяма стойност (НГС).
    2. Използвайте определението за Функционални стойности и намерете отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Изследваме функцията f (x) за Най-малка стойност (НМС) и Най-голяма стойност (НГС):
    • Намираме Функционалните стойности (ФМ) на f (x):
      ФМ = [НМС; НГС] ФМ = .
    • Верен отговор В).

---

25. Даден е ΔABC, за който BC – AC = 2 cm, AB = 5 cm, BAC : ABC = 2 : 1. Дължината на страната AC е:
    • А)1 cm
    • Б)2 cm
    • В)2,5 cm
    • Г)3 cm
    • Д)4 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Приложете синусова теорема и изразете cos ABC чрез страната АС.
    2. Приложете косинусова теорема за ΔABC.
    3. От даденото и геометрични съображения преценете каква стойност има търсената старина.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • От BAC : ABC = 2 : 1 ABC = β, BAC = 2β.
    • Нека АС = b и от даденото следва, че BC = b + 2.
    • Прилагаме синусова теорема за ΔABC и Тригонометрична Формула (5.1):
    • Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:
      AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos β b² = 5² + (b + 2)² – 2.5.(b + 2). 3b² – 9b + 20 = 0.
    • Това квадратно уравнение има решения b₁ = 4 и b₂ = 5.
    • Нека страната AC = b₂ = 5.
      • Тогава ΔABC ще е равнобедрен, т.е. ABC = BCA = β.
      • Ако приложим Теорема за сбор на ъгли в ΔABC следва, че ABC = BCA = 45°, BAC = 90°, т.е. ΔABC е правоъгълен с хипотенуза BC (ако приложим Питагорова теорема и получената стойност на АС = 5, то следва, че хипотенузата му трябва да е BC = 5 и условието BC – AC = 2 cm НЕ се изпълнява).
      • Т.е. страната AC = b₂ = 5 противоречи на условието.
    • Така доказахме, че AC = b₁ = 4 cm.
    • Верен отговор Д).

---

26. Броят на решенията на уравнението 5sin x = cos 6x – 3 в затворения интервал е:
    • А)0
    • Б)1
    • В)2
    • Г)3
    • Д)4
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Приложете Тригонометрична Формула (5.2) и решете тригонометричното уравнение чрез полагане.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Прилагаме Тригонометрична Формула (5.2):
      5sin x = cos 6x – 3 5sin x = cos (2.3x) – 3 5sin x = 1 – 2sin² 3x – 3 2sin² 3x + 5sin 3x + 2 = 0.
    • Полагаме:
      sin 3x = y, ДМ_y: y [– 1; 1].
    • Решаваме полученото квадратно уравнение:
      2sin² 3x + 5sin 3x + 2 = 0 2y² + 5y + 2 = 0; y₁ = – , y₂ = – 2 ∉ ДМ_y.
    • Заместваме в полагането само с y₁ = – :
      sin 3x = – .
    • Прилагаме Таблица 1 за това таблично тригонометрично уравнение:

---

27. Колко трицифрени числа могат да се образуват от цифрите 5, 6, 8 и 0 така, че във всяко трицифрено число да не се повтаря нито една цифра?
    • А)12
    • Б)14
    • В)16
    • Г)18
    • Д)24
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Броят на трицифрените числа съставени с дадените четири цифри, е равен на вариации на 4 елемента от 3 клас.
    2. От този брой, изваждаме трицифрените числа започващи с 0, защото няма число започващо с нула и така получаваме отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Дадени са четири елемента (цифрите 5, 6, 8 и 0), т.е. n = 4. Избираме само 3 (k = 3), като редът на избор има значение.
    • Това означава, че броят на трицифрените числа, които могат да се съставят с дадените четири цифри, е равен на вариации на четири елемента от трети клас:
      V₄³ = 4.3.2 = 24.
    • Няма трицифренно число започващо с нула.
    • Броят на трицифрените числа започващи с 0 е равен на вариации на 3 елемента (цифрите 5, 6 и 8) от втори клас, т.е.:
      V₃² = 3.2 = 6.
    • Намираме отговора:
      V₄³ – V₃²= 24 – 6 = 18.
    • Верен отговор Г).

---

28. Вписаната в ΔABC окръжност се допира до страната AC в точка M така, че AM = 2 cm, MC = 3 cm. Ако CAB + ABC = 120°, то дължината на страната BC е:
    • А)7 cm
    • Б)8 cm
    • В)9 cm
    • Г)10 cm
    • Д)12 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. От Теорема за сбор на вътрешни ъгли намерете ACB.
    2. Използвайте това, че ВС и АВ са допирателни до вписаната в триъгълника окръжност и косинусова теорема, за да намерите отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Нека допирните точки на окръжността до страните АС, ВС и АВ на ΔABC са съответно M, N и P.
    • АС, ВС и АВ са допирателни до вписаната окръжност, т.е.:
      • AM = AP = 2 cm.
      • CM = CN = 3 cm.
      • o BN = BP = x cm.
    • Прилагаме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC:
      ABC + BAC + ACB = 180° 120° + ACB = 180° ACB = 60°.
    • Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:
      AB² = AC² + BC² – 2.AC.BC.cos 60° (x + 2)² = 5² + (x + 3)² – 2.5.(x + 3). x = BN = 5 cm.
    • Намираме отговора:
      BC = BN + NC = 5 + 3 = 8 cm.
    • Верен отговор Б).

---

29. Дадена е правилна триъгълна пирамида с лице на околната повърхнина 72 cm² и големина 60° на двустенния ъгъл между околна стена и основата на пирамидата. Радиусът на вписаната в пирамидата сфера е:
    • А) cm
    • Б) cm
    • В)2 cm
    • Г)1 cm
    • Д)3 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Постройте ъгъл между околна стена и основата, който да е равен на 60°.
    2. За правилната пирамида използвайте Твърдение (6) и така построявате радиуса на вписаната сфера.
    3. Нека пирамидата да има: b – основен ръб, k – апотема. Използвайте Твърдение (28) за лице на околна повърхнина на пирамида и намерете b.k.
    4. От подходящи триъгълници намерете друга връзка между b и k.
    5. От уравненията получени в стъпка (3) и стъпка (4) намерете основния ръб b.
    6. За пирамидата, която е описана около сфера използвайте Твърдение (34) и от подходящ правоъгълен триъгълник намерете отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Нека върхът на пирамидата да е т. М.
    • По условие ABCM е правилна пирамида, т.е.:
      • Основата (ABC) е равностранен триъгълник.
      • Околните стени са равнобедрени триъгълници, например ΔBCM – равнобедрен.
      • т. О е проекцията на т. М (върха на пирамидата) в равнината на основата.
      • т. Н е център на вписаната в пирамидата сфера.
    • От Твърдение (6) на правилна пирамида следва, че радиусът, който търсим е HO = r.
    • Построяваме двустенния (BCM, ABC) между околна стена и основата:
      • Построяваме т. Р – среда на основния ръб ВС.
      • Тогава МР и АР са медиани съответно в равнобедрения ΔBCM и равностранния ΔABC.
      • Това означава, че МР и АР са и височина в съответните триъгълници, т.е. MP BC и AP BC.
      • Тогава ъгълът между двете равнини (околна стена и основата) е:
        (BCM, ABC) = APM = 60°.
    • Нека BC = b – основен ръб, MP = k – апотема на пирамидата. Намираме отсечката ВС:
      • Прилагаме Твърдение (26) за околната повърхнина на правилна триъгълна пирамида (n = 3):
      • AP – височина в равностранния ΔABC и прилагаме формула (6):
        .
      • AP – медиана и т. О е медицентър на равностранния ΔABC и прилагаме основна задача ОЗ 4.1:
        .
      • Прилагаме формула (11) за ΔOPM (O = 90°, OPM = 60°):
    • Тогава:
      OP =
    • От Твърдение (34) за пирамида, която е описана около сфера следва, че РН е ъглополовяща на OPM, т.е.:
      OPH = OPM = . 60 = 30°.
    • Прилагаме формула (12) за правоъгълния ΔHOP (O = 90°, OPH = 30°):
      tg 30° = r = HO = 2 cm.
    • Верен отговор В).

---

30. Стойността на параметъра a, за която уравнението |x² + 2x + 2| + |x² – 1| = a има точно едно решение, принадлежи на интервала:
    • А)(– ∞; – 2)
    • Б)
    • В)
    • Г)(2; 4)
    • Д)[4; + ∞)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Отбележете, че се търси една стойност на параметъра a и се пита на кой даден интервал принадлежи. Може да използвате графичен начин за решаване, т.е. да отбележите лявата страна на даденото уравнение с една функция (например f (x) = x² + 2x + 2 + |x² – 1|) и дясната страна – с друга функция (например y = a). Постройте графиките им и намерете единствената им пресечна точка.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    

    • x² + 2x + 2 > 0 за всяко x, защото D < 0. Това означава, че |x² + 2x + 2| = x² + 2x + 2.
    • Даденото уравнение е:
      (A): x² + 2x + 2 + |x² – 1| = a.

    I начин: Графичен начин.

    • В уравнение (А) въвеждаме две функции:
      • f (x) = x² + 2x + 2 + |x² – 1|.
      • y = a.
    • Функцията f (x) се състои от квадратната функция x² + 2x + 2 и модулната функция |x² – 1|.
      • Квадратната функция x² + 2x + 2 има графика парабола с връх надолу и координати (– 1; 1). При x (– ∞; – 1) е намаляваща, а при x (– 1; + ∞) е растяща.
      • За модулната функция |x² – 1| имаме:
        • |x² – 1| = x² – 1, при x (– ∞; – 1) (1; + ∞).
        • |x² – 1| = – (x² – 1), при x (– 1; 1).
        • |x² – 1| = 0, при x = ± 1.
    • На фигурата графиката на функцията f (x) е представена с червен цвят и то само за x [– 2; 1].
    • Вижда се, че тя има Най-малка стойност (НМС) в т. В (– 1; 1).
    • Другата функция y = a е константа и графиката ѝ е права линия, успоредна на абсцисната ос.
    • Лесно се вижда, че уравнение (А) има:
      • едно решение, когато y = a = 1 и това решение е x = – 1.
      • две решения, когато y = a > 1.
    • Така доказахме, че при a = 1 даденото уравнение ще има точно едно решение.
    • Но a = 1 .
    • Верен отговор Б).

    II начин: Изследваме квадратно параметрично уравнение (А), като разглеждаме няколко случая:

    

    Бележка:

    Виждате, че графичният начин е по-бърз, но се изисква прецизност. Пълното изследване (II начин) е по-разбираем, но изисква много по-вече време.

    Аз лично бих използвал I начин.

Върни се в ПЪРВА ЧАСТ