Технически университет - тест по математика, 2025 г

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – София
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и Национално външно оценяване (НВО, 10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2025 година

ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Изразът е равен на:
- А)8
- Б) – 1
- В)2 + 3
- Г)3 – 4
- Д)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули за съкратено умножение и формула за връзка между корен и модул.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Умножаваме корените с помощта на формула (1), след това използваме формула за съкратено умножение (5) и след преобразувания използваме формула за съкратено умножение (2), а накрая формула (13):
- Верен отговор Б).

Ако log₂₀ 4 = a, то log₅ 20 е равен на:
- А)
- Б)2 – 2a
- В)2 + 2a
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте подходящи формули, за да получите log₅ 2 чрез числото a.
2. Преобразувайте log₅ 20 така, че в него да се съдържа log₅ 2.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Последователно използваме формули (6), (5) и (13), за да получим log₂ 5:
- Отново използваме формули (6), (13) и (5):
  log₅ 20 = log₅ (4.5) = log₅ 4 + log₅ 5 = 2log₅ 2 + 1 = 2 .
- Верен отговор Д).

Стойността на границата e:
- А)
- Б)
- В)∞
- Г)
- Д)0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за намиране на граница с неопределеност .

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме правилото за премахване на неопределеност :
- Верен отговор A).

Ако A = 3. и B = , то стойността на AB е:
- А)3
- Б)6
- В)9
- Г)12
- Д)15
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Последователно използваме подходящи формули и намираме:
- Намираме отговора:
  A.B = . 48 = 9.
- Верен отговор В).

Броят на целите числа, удовлетворяващи неравенството , е:
- А)3
- Б)4
- В)5
- Г)6
- Д)7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте метода на интервалите и решете дробното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме това, че x² + x + 1 > 0 (D < 0) за всяко x, преобразуваме дробното неравенство и прилагаме метода на интервалите:
- Целите числа, принадлежащи на този интервал, са общо 5, това са числата {– 2; – 1; 0; 1; 2}.
- Верен отговор В).

Ако x₁ и x₂ са корени на квадратното уравнение 5x² + 3x – 75 = 0, то стойността на израза x₁²x₂ + x₁x₂² + е:
- А)
- Б)20
- В)
- Г)28
- Д)34
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формулите на Виет:
- Преобразуваме израза и използваме получените по-горе числа:
- Верен отговор Д).

Решението на неравенството > x е:
- А)x [0;4)
- Б)x [– 12; 0)
- В)x [– 12; – 3)
- Г)x [– 12; 4)
- Д)x (– 3; 4)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете ирационалното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За ирационалното неравенство използваме формула (9):
- Обединяваме двете решения и получаваме, че x [– 12; 4).
- Верен отговор Г).

Сумата на първите 7 члена на аритметична прогресия е равна на 98, а разликата ѝ е равна на 4. Тогава деветият член е:
- А)34
- Б)68
- В)56
- Г)42
- Д)70
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи теореми на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По условие разликата на аритметичната прогресия е d = 4.
- Използваме Теорема 2 на аритметична прогресия и даденото:
  S₇ = 98 = a₁ = 2.
- Използваме Теорема 1 на аритметична прогресия:
  a₉ = a₁ + 8d = 2 + 8.4 = 34.
- Верен отговор А).

Броят на естествените числа, които удовлетворяват неравенството log_x (2x + 8) ≥ 2, е:
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)3
- Д)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете логаритмично неравенство, при което в основата има неизвестно.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме част от ДМ на логаритмична функция:
  2x + 8 > 0 ДМ: x > – 4.
- Основата зависи от неизвестното и затова разглеждаме два случая:
- От (1) и (2) следва, че x (1; 4].
- Естествените числа, които принадлежат на този интервал, са: {2; 3; 4} или общо 3 числа.
- Верен отговор Г).

Коренът на уравнението 0,25.8^{5x – 7} = е:
- А)7
- Б)2
- В)5
- Г)9
- Д)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приведете показателното уравнение в основен вид и приложете подходящо правило за решаването му.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме подходящи формули, за да преобразуваме показателното уравнение до основен вид:
  0,25.8^{5x – 7} = . (2³)^{5x – 7} = 2^{– 2} . 2^{15x – 21} = 2^{15x – 23} = .
- Прилагаме формула (12) и решаваме полученото линейно уравнение:
  2^{15x – 23} = 15x – 23 = x = 2.
- Верен отговор Б).

Сумата на първите n члена на геометрична прогресия {a_n} с частно q = 3 е равна на 160. Ако a₁ = 4, тогава n е равно на:
- А)2
- Б)3
- В)4
- Г)5
- Д)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща теорема на геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема 2 на геометрична прогресия и след заместване решаваме полученото показателно уравнение с помощта на формула (12):
  S_n = a₁ 3ⁿ = 81 = 3⁴ n = 4.
- Верен отговор В).

Броят на корените на уравнението sin x – cos x = 1 за x [0; 3π) е:
- А)2
- Б)3
- В)4
- Г)5
- Д)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Тригонометрична Формула (Тр.Ф.8.13) и за полученото таблично тригонометрично уравнение използвайте Таблица 1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Тригонометрична Формула (Тр.Ф.8.13):
- Решаваме това таблично тригонометрично уравнение:
  - От Таблица №1 записваме, че α = .
  - От Таблица 1 определяме групите решения:
    (A): x – + 2kπ x = + 2kπ.
    
    (B): x – + 2kπ x = π + 2kπ.
- Определяме кои от тези решения принадлежат на интервала [0; 3π):
  - Изследваме групата (A):
    1. При k = 0 [0; 3π), т.е. x₁ = е търсеното решение.
    2. При k = 1 [0; 3π), т.е. x₂ = е търсеното решение.
    3. При k = 2 [0; 3π), т.е. x₃ = НЕ е търсеното решение.
    4. Други решения в тази група няма, т.е. в групата (А) имаме 2 решения.
  - Изследваме групата (B):
    1. При k = 0 x₁ = π [0; 3π), т.е. x₁ = π е търсеното решение.
    2. При k = 1 x₂ = π + 2π = 3π [0; 3π), т.е. x₂ = 3π НЕ е търсеното решение.
    3. Други решения в тази група няма, т.е. в групата (В) имаме 1 решение.
- Изводът е, че в двете групи имаме общо 3 решения.
- Верен отговор Б).

Стойността на израза sin² 165° – cos 45° cos 15° + sin 45° sin 15° е:
- А)
- Б)–
- В)
- Г)
- Д)–
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Тригонометрични Формули (Тр.Ф.4.1) и (Тр.Ф.4.2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Тригонометрична Формула (Тр.Ф.4.1) и Таблица 1:
  sin 165° = sin (135° + 30°) = sin 135° cos 30° + sin 30° cos 135° = .
- Използваме Тригонометрична Формула (Тр.Ф.4.2) и Таблица 1:
  cos 45° cos 15° – sin 45° sin 15° = cos (45° + 15°) = cos 60° = .
- Намираме отговора:
  sin² 165° – cos 45° cos 15° + sin 45° sin 15° = sin² 165° – (cos 45° cos 15° – sin 45° sin 15°) = .
- Верен отговор Г).

За кои стойности на реалния параметър k графиките на функциите y (x) = x² – 2kx + 2k² – 4k и g (x) = – x² + 16x – 32 се пресичат в две различни точки?:
- А)k (– 5; – 1)
- Б)k (– 1; 2)
- В)k (– 1; 1)
- Г)k (– ∞; – 1) (1; + ∞)
- Д)k (0; 8)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Абсцисата на пресечната точка се намира от решенията на уравнението y (x) = g (x).
2. За полученото в стъпка 1 квадратно параметрично уравнение използвайте формула (2), за да отговорете на въпроса.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- За графиките на функциите y (x) и g (x) е изпълнено:
  y (x) ∩ g (x) x² – 2kx + 2k² – 4k = – x² + 16x – 32 2x² – 2(k + 8)x + (2k² – 4k + 32).
- Това квадратно уравнение има два различни корена, ако за дискриминантата му е изпълнена формула (2) (използваме съкратената формула за дискриминантата D₁):
  D₁ > 0 (k + 8)² – 2(2k² – 4k + 32) > 0 k² – 8k < 0 k(k – 8) < 0 k (0; 8).
- Верен отговор Д).

Броят на диагоналите на правилен n-ъгълник, където n е модата на числовата извадка {2; 1; 3; 2; 7; 5; 7; 1; 7}, е равен на:
- А)14
- Б)16
- В)18
- Г)20
- Д)22
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте определението за мода и намерете n.
2. Броят на диагоналите на правилен многоъгълник се намира по формулата .
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме определението за мода и получаваме, че модата на дадената извадка е:
  Мо = n = 7.
- Броят на диагоналите на правилен n-ъгълник се намира по формулата:
  Брой диагонали = = 14.
- Верен отговор А).

Ъглополовящите BD и AP на ΔABC се пресичат в точка O (D AC и P BC). Ако AB = 24 cm, AO : OP = 4 : 3 и AD : DC = 8 : 11, то периметърът на триъгълника в cm е:
- А)77
- Б)54
- В)63
- Г)49
- Д)58
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо свойство на ъглополовяща в ΔABC и ΔAPC.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- BD – ъглополовяща в ΔABC и от формула (5) получаваме:
  BC = 33 cm.
- Намираме страната AC:
  - CO – ъглополовяща в ΔAPC и отново прилагаме формула (5):
    .
  - AP – ъглополовяща в ΔABC и отново прилагаме формула (5):
    .
  - Левите страни на уравнения (А) и (В) са равни, то тогава и десните страни ще са им равни, т.е.:
    BP = 18 cm.
  - От чертежа получаваме:
    CP = BC – BP = 33 – 18 = 15 cm.
  - Заместваме в уравнение (А):
    15 = AC = 20 cm.
- Намираме отговора:
  P_ΔABC = AB + BC + AC = 24 + 33 + 20 = 77 cm.
- Верен отговор А).

В ΔABC са дадени CAB = α и ABC = β. Върху страната AB е избрана точка M. Ако радиусът на описаната около ΔAMC е равен на R, то радиусът на описаната около ΔBMC окръжност е:
- А)R tg α cos β
- Б)
- В)
- Г)
- Д)R tg α sin β
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте синусова теорема за ΔAMC и ΔBMC.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека търсеният радиус е R₁ (радиусът на описаната около ΔBMC окръжност).
- Прилагаме синусова теорема за ΔAMC:
  CM = 2R sin α.
- Прилагаме синусова теорема за ΔBMC:
  2R₁ = .
- Верен отговор Г).

По колко различни начина могат да се подредят на кръгла маса знамената на България, Гърция, Словения и Хърватия за срещата на външните министри на страните, провеждаща се в София?
- А)5
- Б)10
- В)24
- Г)30
- Д)120
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте бележката, която е след формулата за пермутации.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Броят на знамената са 5 и при подредбата всичките се използват, т.е. трябва да използваме формула за пермутации, но те са подредени в кръг, а кръгът няма начало и край. Едно от знамената се избира за първи елемент, а всички останали се подреждат спрямо него. Това означава, че елементите, които участват в пермутациите, са четири (т.е. n = 4) и отговорът е:
  P = 4.3.2.1 = 24.
- Верен отговор В).

Прав кръгов пресечен конус има радиуси на голямата и малката основа съответно 6 cm и 2 cm. Ако околната повърхнина на пресечения конус е половината от пълната повърхнина, то височината му в cm е:
- А)2
- Б)3
- В)4
- Г)5
- Д)6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте даденото, формули (86) и (87) за пресечен конус, за да намерите образуващата на конуса.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека за пресечения конус да имаме:
  - AO = BO = r = 6 cm – радиус на голямата основа k.
  - A₁O₁ = B₁O₁ = r₁ = 2 cm – радиус на малката основа k₁.
  - OO₁ = h – височина.
  - BB₁ = l – образуваща.
- Използваме формула за лице S на околна повърхнина на пресечен конус (формула 86):
  S = πl (r + r₁) = πl (6 + 2) = 8πl.
- Използваме формула за лице S₁ на пълната повърхнина на пресечен конус (формула 87):
  S₁ = S + π(r² + r₁²) = 8πl + π (6² + 2²) =8πl + 40π = 8π(l + 5).
- Използваме условието и намираме образуващата:
  2S = S₁ 2.8πl = 8π(l + 5) BB₁ = l = 5 cm.
- Построяваме B₁H || O₁O, т.е. B₁H = O₁O = h и освен това:
  BH = BO – OH = r – r₁ = 6 – 2 = 4 cm.
- Прилагаме теоремата на Питагор за правоъгълния ΔBHB₁ (H = 90°):
  BH² + B₁H² = BB₁² 4² + h² = 5² h² = 9 h = 3 cm.
- Верен отговор Б).

Всеки два околни ръба на правилна триъгълна пирамида са взаимно перпендикулярни. Отношението на лицето на околната повърхнина към лицето на основата ѝ е:
- А)
- Б)
- В)2
- Г)
- Д)3
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постройте апотемата на пирамидата и докажете, че тя е два пъти по-малка от основен ръб.
2. Използвайте подходящи формули за лице на околна повърхнина на пирамида и лице на равностранен триъгълник, за да получите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека т. Р е среда на АВ.
- По условие АВСМ е правилна триъгълна пирамида и AM е перпендикулярна на BM. Това означава, че:
  - Основата ΔABC е равностранен триъгълник със страна AB = a.
  - ΔABM е правоъгълен равнобедрен, т.е. AM = BM, AMB = 90°.
  - MP – медиана, височина, ъглополовяща в този триъгълник, т.е. BMP = AMP = MBP = 45°, MP = BP = k = – апотема на пирамидата.
- Намираме лицето на околната повърхнина на пирамидата (формула 26):
  S = .
- Използваме формула (7) и намираме лицето на основата:
  B = S_ΔABC = .
- Намираме отговора:
  .
- Верен отговор Б).

Условията на задачите от ВТОРА ЧАСТ може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2024 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура