Технически университет - тест по математика, 2026 г

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – София
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и Национално външно оценяване (НВО, 10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2026 година

ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Ако a = 9²⁴, b = 5³⁶, c = 8¹², то е вярно, че:
- А)a < c < b
- Б)c < a < b
- В)a < b < c
- Г)b < a < c
- Д)a = b = c
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Представете числата като степени с равни степенни показатели.
2. Логаритмувайте при произволна основа и сравнете получените логаритми, който са с равна основа.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Забелязваме, че числото 12 е най-голям общ делител на степенните показатели. Това означава, че числата могат да се представят като степени с равни степенни показатели:
  - a = 9²⁴ = 9^2.12 = (9²)¹² = 81¹².
  - b = 5³⁶ = 5^3.12 = (5³)¹² = 125¹².
  - c = 8¹².
- Сравняваме основите и намираме отговора:
  8 < 81 < 125 c < a < b.
- Верен отговор Б).

Стойността на израза + 0,15⁰ е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (5), превръщаме десетичните числа в обикновени дроби и преобразуваме:
- Верен отговор Г).

Ако x₁ и x₂ са корени на уравнението 2x² + x – 1 = 0, то стойността на израза x₁x₂ – x₁² – x₂² е:
- А)–
- Б)–
- В)–
- Г)–
- Д)0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формулите на Виет:
  - x₁x₂ = .
  - x₁ + x₂ = – .
- Преобразуваме израза, като използваме формула (14) и получените стойности:
  x₁x₂ – x₁² – x₂² = x₁x₂ – (x₁² + x₂²) = x₁x₂ – [(x₁ + x₂)² – 2x₁x₂] = 3x₁x₂ – (x₁ + x₂)² = 3.
- Верен отговор A).

Ако a = log₅ 6, то стойността на израза log₆ 25 – 5^a е:
- А)2 – a
- Б)2a – 6
- В)
- Г)
- Д)– 4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Последователно използваме формулите (6), (12), (5) и намираме отговора:
  log₆ 25 – 5^a = log₆ 5² – = 2log₆ 5 – 6 = .
- Верен отговор В).

Ако за аритметична прогресия с общ член a_n е известно, че a₃ + a₁₂ = 32, то сборът a₁ + a₄ + a₁₁ + a₁₄ е равен на:
- А)0
- Б)32
- В)64
- Г)96
- Д)128
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо Свойство на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Свойство 2 на аритметична прогресия следва, че:
  a₁ + a₁₄ = a₃ + a₁₂ = a₄ + a₁₁ = 32.
- Намираме отговора:
  a₁ + a₁₄ + a₄ + a₁₁ = 32 + 32 = 64.
- Верен отговор В).

Ако S_n е сумата на първите n члена на геометрична прогресия и е известно, че S₇ – S₃ = 15 и S₄ = 120, то частното на тази прогресия е равно на:
- А)1
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща теорема на геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За геометричната прогресия отбелязваме: a₁ – първи член, q – частно (търсеното число).
- Съставяме система от даденото и Теорема 2, и я решаваме чрез делене:
- Верен отговор Д).

Решението на неравенството (x – 7)(x² – 49) > 0 е:
- А)x (– ∞; – 7) (7; + ∞)
- Б)x (7; + ∞)
- В)x (– 7; + ∞)
- Г)x (– 7; 7) (7; + ∞)
- Д)x (– 7; 7)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете неравенство от вид (2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (5) и преобразуваме:
  (x – 7)(x² – 49) > 0 (x – 7)(x – 7)(x + 7) > 0 (x – 7)²(x + 7) > 0.
- Това неравенство е от вид (2) и го решаваме с метода на интервалите:
  - Изразът (x – 7)² > 0 за всяко x ≠ 7.
  - При x ≠ 7 решаваме неравенството:
    (x – 7)²(x + 7) > 0 x + 7 > 0 x > – 7.
  - Крайните решения са:
    x (– 7; 7) (7; + ∞).
- Верен отговор Г).

Стойността на израза е:
- А)3 –
- Б)3 +
- В)2
- Г)4
- Д)8
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи Тригонометрични Формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Таблица 2:
  sin 75° = sin (90° – 15°) = cos 15°.
- Преобразуваме знаменателя и използваме Тригонометрични Формули (Тр.Ф.1.1) и (Тр.Ф.5.1), а след това Таблица 1:
- Верен отговор Д).

Ако (x; y) е решение на системата , то (x – y)⁴ е равно на:
- А)0
- Б)1
- В)4
- Г)16
- Д)81
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (14) и решете системата чрез заместване.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (14) и решаваме системата чрез заместване:
  (x – y)² + 2.2 = 5 (x – y)² = 1.
- Получаваме отговора:
  (x – y)⁴ = [(x – y)²]² = 1² = 1.
- Верен отговор Б).

Дефиниционното множество на функцията f (x) = log_x (4 – x²) + е:
- А)x (1; 2)
- Б)x (– 2; 2)
- В)x (0; 2)
- Г)x (0; 1) (1; 2)
- Д)x
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете Дефиниционното Множество (ДМ) на логаритмична функция и на дробна функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ на логаритмична функция и на дробна функция:
- Верен отговор Д).

От 12 моряка и 3 офицера се избира по случаен начин група за нощна вахта, състояща се от 4 моряка и 1 офицер. Броят на различните начини за съставяне на такава група е:
- А)15
- Б)45
- В)496
- Г)1485
- Д)11881
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете по колко начина се избира 1 офицер от общо трима и 4 моряка от общо 12. За получените числа използвайте правилото за умножение и намерете отговора.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- По 3 начина може да се избере един офицер от общо трима.
- Начините за избор на 4 моряка от общо 12 са равни на комбинации на 12 елемента от 4-ти клас, защото редът на избор няма значение:
  C₁₂⁴ = = 495.
- Използваме правилото за умножение и намираме отговора:
  3.C₁₂⁴ = 3.495 = 1485.
- Верен отговор Г).

Крадец знае, че кодът на сейф се състои от 4 различни цифри. Вероятността той да отключи сейфа от първия опит е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулата за класическа вероятност (Формула 7).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Набираме всички възможни случаи n – Всички цифри са 10 и се избират 4 от тях, като редът на избор има значение, т.е. всички възможни случаи са равни на вариации на 10 елемента от 4-ти клас:
  n = V₁₀⁴ = 10.9.8.7 = 5040.
- Благоприятните случаи са m = 1, защото се прави само един опит.
- Използваме формулата за класическа вероятност (Формула 7):
  P = .
- Верен отговор Д).

Най-малкото цяло положително число, което е решение на неравенството |2x – 3| ≤ 7 е:
- А)1
- Б)2
- В)3
- Г)4
- Д)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте правилото за решаване на модулно неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Модулното неравенство е в основен вид и използваме Формула (3):
  [– 2; 5].
- В този интервал най-малкото цяло положително число е числото 1.
- Верен отговор А).

В остроъгълния ΔABC е прекарана височината AD (D BC). Радиусът на описаната около ΔADC окръжност е cm, AB = 5 cm и CD = 2 cm. Периметърът на ΔABC в cm е:
- А)5 + 2
- Б)10 + 2
- В)15
- Г)10 +
- Д)25
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящи формули за правоъгълния ΔADC намерете хипотенузата и катета AD.
2. Използвайте теоремата на Питагор за ΔABD и намерете катета BD.
3. Използвайте подходяща формула за периметър и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- За правоъгълния ΔADC (D = 90°) използваме:
  - Формула (8):
    AC = 2R = 2.
  - Теоремата на Питагор:
    AD² + CD² = AC² AD² + 2² = AD² = 16 AD = 4 cm.
- Използваме теоремата на Питагор в ΔABD (D = 90°):
  BD² + AD² = AB² BD² + 4² = 5² BD² = 9 BD = 3 cm.
- BC = BD + DC = 3 + 2 = 5.
- Намираме отговора:
  P_ΔABC = AB + BC + AC = 5 + 5 + 2 = 10 + 2.
- Верен отговор Б).

Ъгълът срещу страната a на триъгълник със страни a = 7 cm, b = 5 cm и c = 8 cm е равен на:
- А)30°
- Б)45°
- В)60°
- Г)90°
- Д)120°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Косинусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека с α да отбележим търсения ъгъл и прилагаме Формула (1):
  a² = b² + c² – 2.b.c.cos α 7² = 5² + 8² – 2.5.8.cos α cos α = .
- От Таблица 1 следва, че α = 60°.
- Верен отговор В).

В правоъгълен трапец ABCD (AD AB, AB > CD) диагоналите се пресичат в т. O и AB = 6 cm. Разстоянието от т. O до AD е 2 cm. Ако в трапеца може да се впише окръжност, то периметърът на ABCD в cm е:
- А)24
- Б)22
- В)20
- Г)18
- Д)16
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подобни триъгълници намерете малката основа на трапеца.
2. От подходяща теорема на описан трапец и теоремата на Питагор намерете бедрата.
3. Използвайте подходяща формула, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔPOD ~ ΔABD (по I признак, защото: 1) D – общ, 2) OPD = BAD = 90° – по условие) и от формула (3) получаваме:
  DP = x, DA = 3x, тогава AP = 3x – x = 2x.
- ΔDCA ~ ΔPOA (по I признак, защото: 1) A – общ, 2) OPA = CDA = 90° – по условие) и от формула (3) получаваме:
  CD = 3.
- Намираме бедрата на трапеца:
  - Построяваме CH AB, тогава AHCD – правоъгълник, т.е. CH = DA = 3x, AH = CD = 3.
  - BH = AB – AH = 6 – 3 = 3.
  - Използваме Теорема 3 на трапец, описан около окръжност:
    AD + BC = AB + CD 3x + BC = 6 + 3 BC = 9 – 3x.
  - Използваме теоремата на Питагор за правоъгълния ΔBHC (H = 90°) и формула (2):
    BH² + CH² = BC² 3² + (3x)² = (9 – 3x)² 9 + 9x² = 81 – 54x + 9x² x = .
  - AD = 3x = 3. = 4.
  - BC = 9 – 3x = 9 – 3. = 5.
- Намираме отговора:
  P_ABCD = AB + BC + CD + AD = 6 + 5 + 3 + 4 = 18 cm.
- Верен отговор Г).

Медианите към бедрата в равнобедрен триъгълник са взаимно перпендикулярни. Ако основата на триъгълника е 6 cm, то лицето му в cm² е:
- А)27
- Б)28
- В)29
- Г)30
- Д)32
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Нека т. М е медицентър на ΔABC и докажете, че ΔABM е равнобедрен и правоъгълен. Намерете височината към хипотенузата в този триъгълник.
2. Използвайте подходяща теорема за медицентър на триъгълник и намерете височината на ΔABC.
3. Използвайте подходяща формула и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека AA₁ и BB₁ са дадените медиани към бедрата и AA₁ BB₁ = т. M, т.е. т. М е медицентър на ΔABC.
- Построяваме CH – медиана и височина към основата на равнобедрения ΔABC, тогава:
  - AH = BH = 3 cm.
  - AMB = A₁MB₁ = 90° – връхни ъгли.
- В правоъгълния ΔAMB (AMB = 90°) намираме:
  - AH = BH = 3.
  - HAM = AMH = 45°
  - Това означава, че ΔAHM – равнобедрен, т.е. MH = AH = 3.
- Намираме отговора:
  - Т. М е медицентър на ΔABC и от Теорема получаваме:
    CM : MH = 2 : 1 CM = 2MH = 2.3 = 6.
  - CH = CM + MH = 6 + 3 = 9.
  - Използваме формула (1) за ΔABC:
    S_ΔABC = = 27 cm².
- Верен отговор А).

Около основата на правилна триъгълна пирамида е описана окръжност с радиус cm. Околните стени сключват с основата на пирамидата ъгъл с големина α. Обемът на пирамидата в cm³ е:
- А) cos α
- Б) tg α
- В) tg α
- Г) tg α
- Д) sin α
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. За равностранния триъгълник (основата на пирамидата) използвайте това, че центърът на описаната окръжност съвпада с медицентъра и формули (6) и (7).
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на пирамидата.
3. Използвайте формула за обем на пирамида и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От бележката след Основна задача №6 следва, че т. О – център на описаната около основата окръжности и е медицентър, като СО = R = cm.
- Използваме Теорема за медицентър:
  OP = .
- Тогава:
  CP = CO + OP = .
- СР – височина в равностранен ΔABC със страна AB = a и използваме:
  - формула (6):
    CP = a = 3.
  - Формула (7):
    B = S_ΔABC = .
- Построяваме дадения ъгъл α:
  - ОР е проекцията на МР в равнината на основата, но СР е височина на основата, т.е. OP AB.
  - От Теоремата за трите перпендикуляра следва, че MP AB.
  - Тогава двустенният ъгъл е:
    (ABM; ABC) = CPM = α.
- Използваме формула (12) за правоъгълния ΔPOM (O = 90°) и намираме височината на пирамидата:
- Намираме обема на пирамидата (формула 31):
  V = B. MO = tg α.
- Верен отговор Б).

Корените на уравнението px² – (3p + 1)x + 2p + 2 = 0 са положителни за стойностите на параметъра p в интервала:
- А)
- Б)
- В)(– ∞; – 1) [0; + ∞)
- Г)(– 1; 0)
- Д)(0; 1)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разгледайте случаите:
I случай: p = 0 и решете полученото линейно уравнение.

II случай: p ≠ 0. Получава се квадратно уравнение и използвайте формула (6).

Получете отговора, като обедините решенията от двата случая.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Уравнението е линейно с решение:
  – x + 2 = 0 x = 2 > 0.
- Така доказахме, че условието се изпълнява при p = 0.
- Т.е. p = 0 е едно от търсените решения.
- Уравнението е квадратно и за да е изпълнено условието, използваме формула (6):
  - Намираме дискриминантата и решаваме полученото квадратно неравенство:
    D ≥ 0 D = (3p + 1)² – 4p(2p + 2) ≥ 0 p² – 2p + 1 ≥ 0 (p – 1)² ≥ 0 всяко p.
  - Използваме формулите на Виет и решаваме получените дробни неравенства:
  - Заместваме във формула (6) и решаваме системата:
- Обединяваме решенията от (I) и (II):
  p (– ∞; – 1) [0; + ∞).
- Верен отговор В).

В сфера с радиус 10 cm е вписан прав кръгов конус. Осното сечение на конуса е равнобедрен триъгълник с ъгъл γ при върха му. Ако cos γ = − , то обемът на конуса в cm³ е:
- А)81π
- Б)64π
- В)42π
- Г)36π
- Д)24π
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От даденото определете, че центърът на описаната сфера е извън конуса.
2. От Синусова теорема определете диаметъра на основата на конуса.
3. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината на конуса.
4. Намерете обема на конуса.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека да имаме означенията:
  - Точка Н – център на описаната сфера.
  - AH = CH = R = 10 – радиус на описаната сфера.
  - AO = r – радиус на вписания конус.
  - CO = h – височина на вписания конус.
  - Даденият ъгъл е ACB = γ.
- По условие cos γ = – < 0 и от Таблица 1 следва, че γ > 90°, т.е. т. Н е извън конуса.
- Използваме Тригонометрична формула (Тр.Ф.1.1):
  sin² γ + cos² γ = 1 sin² γ + sin² γ = .
- Използваме формула (2) за ΔABC:
  AB = 2Rsin γ = 2.10. = 12.
- Тогава:
  AB = 2r 12 = 2r AO = r = 6.
- Използваме теоремата на Питагор за правоъгълния ΔAOH (O = 90°):
  AO² + OH² = AH² 6² + OH² = 10² OH² = 64 OH = 8.
- Намираме височината на конуса:
  CO = CH – OH = 10 – 8 = 2.
- Намираме обеда на конуса:
  V = π AO² CO = π 6² . 2 = 24π cm³.
- Верен отговор Д).

Условията на задачите от ВТОРА ЧАСТ може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2025 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура