Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Май 2013 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Най-малко e числото:
- А)
- Б)1
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приложете Формули (6), (7) и (8) и правилата за Сравняване на числа.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Сравняваме числата спрямо 1. Отговор А) е по-голям от единица и затова той не е търсеното решение.
- За отговор В) прилагаме Формули (8) и (6), а за отговор Г) само Формула (6):
- Използваме правилата за сравняване на корени и дроби, т.е. Формули (8) и (7):
  4 < 5 .
- Верен отговор В).

Стойността на израза при x = 2013 е равна на:
- А)2
- Б)1
- В)0
- Г)–2013
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Съобразете, че ако заместим х с дадената стойност в числителя на третата дроб се получава нула, т.е. третата дроб отпада.
2. Без да замествате преобразувайте първата дроб така, че да я съкратите с втората.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Ако заместим x = 2013 в третата дроб, то в числител се получава 0 и тази дроб отпада.
- Преобразуваме само първата и втората дроб:
- Верен отговор В).

Допустимите стойности на израза са:
- А)(–∞; +∞)
- Б)[0; +∞)
- В)(–∞; 0]
- Г)(–∞; 0) (0; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на дробна функция и ирационална функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Понеже x е в знаменател и под корен, то ДМ на дадената функция е всяко x ≠ 0.
- Верен отговор Г).

Числото log₂ 3 е корен на уравнението:
- А)3^x = 2
- Б)2^x = 3
- В)3^x =
- Г)2^x =
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете показателното уравнение по правило (11).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме показателното уравнение по правило (11) и виждаме, че само от уравнението в отговор Б) получаваме x = log₂ 3.
- Верен отговор Б).

На кое от уравненията сборът от реалните корени е 2,5?
- А)2x² – 5x + 5 = 0
- Б)2x² – 5x + 3 = 0
- В)2x² – 2x + 5 = 0
- Г)2x² + 5x – 3 = 0
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете Дискриминанта, защото едно квадратно уравнение има реални корени, ако D ≥ 0
2. Използвайте Формулите на Виет.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Проверяваме всеки от отговорите:
  А) D = 5² – 4.2.5 = 25 – 80 = – 55 < 0, т.е. уравнението от отговор А) няма реални корени и не е търсеното решение.
  
  Б) D = 25 – 24 = 1 > 0 и от Формулите на Виет намираме x₁ + x₂ = – = = 2,5, т.е. това е търсеното решение.
- Другите отговори не ги проверяваме.
- Верен отговор Б).

Решенията на неравенството x² – 2x + 3 > 0 са:
- А)x ∅
- Б)x (–∞; –1) (3; +∞)
- В)x (–∞; –3) (1; +∞)
- Г)x (–∞; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете Квадратното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме квадратното неравенство:
  - D = 1² – 3 = – 2 < 0.
  - Параболата „виси” във въздуха (Формула (1.3) от виж Таблица 1) и решенията са всяко x.
- Верен отговор Г).

Стойността на sin 240° е:
- А)–
- Б)–
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: С помощта на Таблица 2 получете ъгъл в първи квадрант.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- С помощта на Таблица 2 преобразуваме 240° в ъгъл принадлежащ на първи квадрант:
  sin 240° = sin (180° + 60°) = – sin 60° = – .
- Верен отговор А).

В равнобедрен ΔABC (AC=BC) е вписана окръжност k с център О. Лъчът BO^→ пресича страната AC в точка Р, като AP = 6 cm и PС =12 cm. Периметърът на ΔABC е :
- А)72 cm
- Б)45 cm
- В)9 cm
- Г)не може да се определи
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Свойства на ъглополовяща и на равнобедрен триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- AC = AP + PC = 6 + 12 = 18 cm.
- ΔABC – равнобедрен BC = AC = 18 cm.
- т. О – център на вписаната окръжност ВР – ъглополовяща.
- Намираме АВ като използваме Свойство на ъглополовящата ВР:
  AB = 9 cm.
- P_ΔABC = AB + 2BC = 9 + 2.18 = 45 cm
- Верен отговор Б)

В ΔABC AB = 7 cm, a AC = 5 cm. Ако ACB = 120°, то дължината на страната BC е:
- А)3 cm
- Б)6 cm
- В) cm
- Г)8 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Косинусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека BC = a > 0.
- Използваме Косинусова теорема за ΔABC:
  AB² = AC² + BC² – 2AC.BC.cos 120° 7² = 5² + a² – 2.5.a. a² + 5a – 24 = 0, a₁ = – 8 < 0 ∉ ДМ, a₂ = 3.
- Търсената страна е BC = a₂ = 3 cm.
- Верен отговор А).

Ако общият член на числова редица е a_n = (–1)^{n + 1}(n + 1) – 3.(–1)ⁿ, то a₁₃ е равен на:
- А)–16
- Б)–11
- В)10
- Г)17
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Заместете n с неговото равно.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Щом търсим a₁₃, то n = 13.
- Заместваме n в общия член:
  a₁₃ = (–1)^{13 + 1}(13 + 1) – 3.(–1)¹³ = 14 + 3 = 17.
- Верен отговор Г).

Критерии за оценяване

Дадена е крайна геометрична прогресия с a₁ = 729, q = и a_n = . Броят n на членовете на прогресията е:
- А)5
- Б)7
- В)8
- Г)9
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теорема за общият член на геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема за общия член на геометрична прогресия:
- Верен отговор Г).

Наредените двойки числа (x; y), които са решения на системата са разположени:
- А)само в първи квадрант
- Б)само в четвърти квадрант
- В)във втори и в четвърти квадрант
- Г)в първи и в трети квадрант
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете Системата чрез заместване.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Дадената система уравнения е от първа степен с две неизвестни. Решаваме я чрез заместване.
- Неизвестното y от второто уравнение го заместваме в първото и получаваме:
  –x = 6 – x² x² – x – 6 = 0, x₁ = –2, x₂ = 3.
- Намираме второто неизвестно:
  - при x₁ = –2 y₁ = – (–2) = 2;
  - при x₂ = 3 y₂ = –3.
- Решенията на системата са наредените двойки (–2; 2) и (3; –3).
- Верен отговор В).

Разходите на фирма за един месец са 18 000 лв. Тяхното разпределение е представено чрез кръговата диаграма. Ако AOB = 170° и BOC = 64°, то разходите за заплати са:
- А)3 200 лв.
- Б)6 000 лв.
- В)6 300 лв.
- Г)8 500 лв.
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ъгъл АОС.
2. Намерете каква част са заплатите от всички разходи.
3. Намерете разходите за заплати.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме ъгъла от диаграмата съответстващ на заплатите:
  AOC = 360° – (170° + 64°) = 126°.
- Намираме каква част са заплатите от всички разходи:
  = 0,35.
- Намираме разходите за заплати:
  0,35 . 18000 = 6 300 лв.
- Верен отговор В).

На страната AC на ΔABC е взета точка D, така че DBC = CAB. Ако AD = 16 cm, DC = 2 cm и BD = 5 cm, то дължината на страната AB е равна на:
- А)6 cm
- Б)15 cm
- В) cm
- Г)36 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Синусова теорема за ΔBCD и ΔABC, за да изразите АВ чрез ВС.
2. От Косинусова теорема за ΔBDC намерете cos α.
3. Намерете страната АВ от Косинусова теорема за ΔABD.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

За ΔABC е дадено, че AB = 5 и sin CAB : sin <CBA = 3: 2. Ако AC² + BC² =117, то периметърът на триъгълника е:
- А)20
- Б)18
- В)5 + 3
- Г)5 + 3
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Синусова теорема за ΔABC и даденото отношение намерете отношението между ВС и АС.
2. От даденото равенство и намереното отношение намерете страните ВС и АС.
3. Използвайте формулата P_ΔABC = AB + BC + AC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека CAB = α, CBA = β, AC = b, BC = a.
- От даденото отношение записваме sin α = 3x, sin β = 2x.
- От Синусова теорема за ΔABC получаваме:
  , т.е. a = 3y, b = 2y.
- Заместваме в даденото равенство:
  AC² + BC² =117 (3y)² + (2y)² = 117 y² = 9 y = 3.
- Тогава BC = a = 3.3 = 9, AC = b = 2.3 = 6.
- P_ΔABC = AB + BC + AC = 5 + 9 + 6 = 20.
- Верен отговор А).

Височината към хипотенузата в правоъгълен триъгълник има дължина 6 cm и сключва с един от катетите ъгъл 30°. Лицето на триъгълника е:
- А)18 cm²
- Б)36 cm²
- В)24 cm²
- Г)48 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ъгъл ВАС и катетите ВС и АС.
2. За да намерите лицето на ΔABC използвайте Формула (14).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔDBC BDC = 90° – DCB = 90° – 30° = 60°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔABC BAC = 90° – ABC = 90° – 60° = 30°.
- От Тригонометрична функция за ΔDBC получаваме:
  cos 30° = .
- В ΔADC имаме: ADC = 90°, DAC = 30° AC = 2CD = 2.6 = 12 cm.
- S_ΔABC = cm².
- Верен отговор В).

Около трапеца ABCD с основи AB = 40 cm и CD =10 cm е описана окръжност. Ако в трапеца е вписана окръжност, то дължината на нейния радиус е:
- А)10 cm
- Б)15 cm
- В)20 cm
- Г)друг отговор
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете че ABCD – равнобедрен трапец и намерете неговата височина.
2. Използвайте това, че височината на Описан трапец е равна на 2r.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – Описан трапец ABCD – равнобедрен.
- Ако DH – височина и от Формула (15) получаваме:
  AH = = 15.
- ABCD – вписан равнобедрен трапец AB + CD = 2AD 40 + 10 = 2AD AD = 25.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔAHD:
  AH² + DH² = AD² 15² + DH² = 25² DH²= 400, т.е. DH = 20.
- ABCD – вписан трапец и DH – височина DH = 2r 2r = 20 r = 10 cm.
- Верен отговор А).

Дължината на единия диагонал на ромб е 75% от дължината на другия, а лицето му е 24 cm². Радиусът на вписаната в ромба окръжност е:
- А)8 cm
- Б)6 cm
- В)4,8 cm
- Г)2,4 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете диагоналите на ромба.
2. Намерете лицето на ΔABO по два начина и след това радиуса на вписаната окръжност.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека AO = x, BO = y.
- AC и BD диагонали в ромб AC = 2x, BD = 2y и AOB = 90°.
- По условие BD = 75% от АС 2y = 0,75.2x (1): y = 0,75x.
- От Формула (11) следва, че:
  S_ABCD = AC.BD 24 = 2x.2y x.y = 12 и от (1) x.0,75x = 12 x² = 16 x = 4.
- От (1) намираме: y = 0,75x = 0,75.4 = 3.
- От Питагорова теорема за ΔAOB намираме АВ:
  AO² + BO² = AB² AB² = 4² + 3² = 25 AB = 5.
- ΔABO – правоъгълен и от Формула (7) AO.BO = AB.OH 4.3 = 5.OH OH = 2,4 cm.
- Верен отговор Г).

В ΔABC AB = 8, AC =15 и BAC = 60°. Височината AH (H BC) на триъгълника е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Косинусова теорема намерете страната ВС.
2. Запишете Лицето на ΔABC по два начина, за да намерите височината му.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Косинусова теорема за ΔABC получаваме:
  BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos BAC = 8² + 15² – 2.8.15. = 169 BC = 13.
- Намираме височината АН, като запишем лицето на ΔABC по два начина:
  AB.AC.sin 60° = BC.AH 8.15. = 13.AH AH = .
- Верен отговор Б).

Колко са трицифрените четни числа с различни цифри, цифрата на десетиците на които е нула?
- А)32
- Б)36
- В)45
- Г)72
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Може да използваме Правилото за умножение като преценяваме, по колко начина може да изберем цифрата на единиците, десетиците и стотиците, в търсеното число.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
І начин:
- Втората цифра (цифрата на десетиците) е фиксирана и тя е 0.
- Едно число е четно, ако цифрата на единиците му е 0, 2, 4, 6 или 8.
- Цифрата на единиците в търсеното число може да я изберем по четири начина, а това е една от цифрите 2, 4, 6 и 8 (0 е „заета” за десетиците).
- След като 0 и 2 са „заети”, то за цифрата на стотиците остават 8 цифри, т.е. цифрата на стотиците може да я изберем по 8 начина.
- Използваме Правилото за умножение – Трицифрено число с исканите свойства може да се получи по 4.8 = 32 начина.
- Верен отговор А).
ІI начин:
- Предполагаме, че търсеното трицифрено четно число с фиксирана десетица (за десетици имаме 0), започва с четна цифра. Възможните цифри са: 2, 4, 6 или 8, но една от тези цифри е заета за единици, т.е. начините, по които цифрата на стотиците е четно число са 4.3 = 12.
  Например:
  
  За число между 200 и 300 това са числата: 204, 206, 208.
  
  За число между 400 и 500 това са числата: 402, 406, 408,
  
  и т.н.
- Предполагаме, че търсеното трицифрено започва с нечетна цифра. Възможните цифри са: 1, 3, 5, 7 или 9 – тогава вариантите са по четири, т.е. начините, по които цифрата на стотиците е нечетно число са 5.4 = 20.
  Например:
  
  За число между 100 и 200 това са числата: 102, 104, 106. 108.
  
  За число между 300 и 400 това са числата: 302, 304, 306, 308,
  
  и т.н.
- Използваме Правилото за събиране:
  Общо: 12 + 20 = 32.
- Верен отговор А).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Намерете решенията на неравенството (x + 6)(36 – x²) ≤ 0.

Вижте упътване

Упътване:

Решете неравенството по Метода на интервалите (приложете частен случай на метода на интервалите).

Вижте решение
Решение:
- Нулираме всяка от скобите:
  - x + 6 = 0 x = – 6.
  - 36 – x² = 0 x² = 36 x = ±6.
- Един от корените се повтаря, т.е. имаме частен случай и затова числото x = – 6 не се включва в подинтервалите:
- Определяме решенията: При x = – 6 неравенството е вярно и затова то се включва в решенията независимо, че е частен случай.
- Отговор: Решенията са x {– 6} [6; + ∞).

Да се реши уравнението .

Вижте упътване
Упътване:
1. Знаменателя на втората дроб го Разложете на множители.
2. Привидете под общ знаменател и преобразувайте уравнението до квадратно.
Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители знаменателя на втората дроб:
  x² – x – 2 = (x + 1)(x – 2).
- Намираме ДМ на дробна функция: x ≠ –1, 2.
- Преобразувайте уравнението до квадратно и намираме решенията му:
  –x(x + 1) + x + 4 = 2(x + 1)(x – 2)
  3x² – 2x – 8 = 0, x₁ = –; x₂ = 2 ∉ ДМ.
- Отговор: x = –.

В серия от 30 опита участник в стрелба по цел е получил 13,5 наказателни точки. Колко попадения е реализирал участникът, ако за първия пропуск наказанието е една точка, а всеки следващ пропуск се наказва с половин точка повече от предходното наказание?

Вижте упътване

Упътване:

Наказателните точки са членове на Аритметична прогресия. Намерете броя на членовете на тази прогресия и ги извадете от 30.

Вижте решение
Решение:
- Наказателните точки се получават като Аритметична прогресия с първи член a₁ = 1, разлика d = 0,5 и сбор на всички членове S_n = 13,5.
- От Теорема 2 намираме броя n на членовете на аритметичната прогресия:
  S_n = .n n² + 3n – 54 = 0, n₁ = – 9, n₂ = 6.
- Но n > 0 следователно остава само n = 6.
- Намираме попаденията на състезателят:
  30 – n = 30 – 6 = 24.
- Краен отговор: 24.

Коефициентът с на квадратното уравнение x² – 2x + c = 0 е цяло число от интервала [–2; 3]. Каква е вероятността уравнението да има реални корени?

Вижте упътване
Упътване:
1. Намерете, какви стойности може да заема числото с, като използвате Формули (2) и (4).
2. Намерете, колко цели числа принадлежат на даденият интервал и колко от тях може да заема числото с.
3. Използвайте Формула (7).
Вижте решение
Решение:
- Целите числа принадлежащи на интервала [–2; 3] са: –2, –1, 0, 1, 2 и 3.
- Намираме стойностите заемани от c: Квадратното уравнение има решение, ако
  D ≥ 0 1 – c ≥ 0 c ≤ 1.
- От числата –2, –1, 0, 1, 2 и 3 само числата –2, –1, 0 и 1 изпълняват условието c ≤ 1.
- Използваме Формула (7), за да намерим вероятността p:
  - броят на възможните случаи е n = 6 (това са числата –2, –1, 0, 1, 2 и 3).
  - броят на благоприятните случаи е m = 4 (това са числата –2, –1, 0 и 1).
  - Намираме вероятността:
    p = .
- Отговор: p = .

Даден е ΔABC с ъглополовяща BD. Ако ABC = 2CAB, AC = 3CD = 18, намерете S_ΔABC.

Вижте упътване
Упътване:
1. От даденото намерете AD, CD, BD.
2. Като използвате свойства на ъглополовяща (Формули 5 и 6) намерете АВ и ВС.
3. От Синусова теорема за ΔABC и Тригонометрична формула за двоен ъгъл на синуса (Формула 5.1) намерете α.
4. За да намерите лицето на ΔABC използвайте Формула (2).
Вижте решение

Решение:

Условията на задачи от 26. до 28. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2012 г. 2014 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура