Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Май 2012 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Кое от числата принадлежи на интервала [–1; 1]?
- А)
- Б)7^–1.49
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приложете Формули (6), (7) и (8).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Проверяваме всеки от отговорите:
  А) От формула формула (8) = 5² = 25 ∉ [–1; 1], т.е. отговор А) не е търсеното решение.
  Б) От формула формула (7) 7^–1.49 = .49 = 7 ∉ [–1; 1], т.е. отговор Б) не е търсеното решение.
  В) От формула формула (8) – = 2³ = 8 ∉ [–1; 1], т.е. отговор В) не е търсеното решение.
  Г) От формула формули (3), (6) и (7) [–1; 1], т.е. отговор Г) е търсеното решение.
- Верен отговор Г).

Числената стойност на израза е равна на:
- А)16
- Б)2
- В)4
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете корените.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме корените:
  = 4.
- Верен отговор В).

Допустимите стойности на израза са:
- А)x (–∞; 3)
- Б)x (–∞; 3]
- В)x (–∞; 0) (0; 3)
- Г)x (3; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на дробна функция и ирационална функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- В даденият израз имаме дробна и ирационална функции, затова допустимите стойности са:
  x (–∞; 0) (0; 3).
- Верен отговор В).

Решенията на неравенството ≥ 0 са:
- А)(–∞; –2] [2; +∞)
- Б)(–∞; –2] (0; 2]
- В)[–2; 0] [2; +∞)
- Г)[–2; 0) (2; ++∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете Дробното неравенство по метода на интервалите.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Равенството = x – 6 е вярно за x равно на:
- А)–8
- Б)4,8
- В)7
- Г)8
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (11).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формула (11) получаваме уравнението:
  x = x – 6 x = 8.
- Верен отговор Г).

За корените x₁ и x₂ на уравнението –0,5x² + 22,5x – 2 = 0 е вярно, че:
- А)x₁ > 0 и x₂ < 0
- Б)x₁ < 0 и x₂ < 0
- В)x₁ > 0 и x₂ > 0
- Г)x₁ = – x₂
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Формулите на Виет следва, че:
  .
  .
- Верен отговор В).

Два от корените на уравнението ax⁴ + bx² + c = 0 са – и 2. Другите му корени са:
- А)– и 3
- Б)–
- В)–2
- Г)–2 и
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Правилото за решаване на биквадратни уравнения.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Биквадратните уравнения се решават чрез полагането x² = y.
- При дадени два корена следва, че другите корени са техните противоположни.
- Верен отговор Г).

За α = – стойността на израза sin 3α – cos 2α е:
- А)–
- Б)–
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Заместете α с неговото равно и намерете стойността на получения израз.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Заместваме α с неговото равно и използваме Таблица №1: .
- Верен отговор А).

В равнобедрен ΔABC с основа AB = 8 cm е вписана окръжност. Центърът O на окръжността дели височината CH в отношение 5:2. Дължината на AC е равна на:
- А)6 cm
- Б)10 cm
- В)16 cm
- Г)20 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете АН – От ΔABC – равнобедрен и СН – височина следва, че СН – медиана.
2. Т. О – център на вписаната окръжност и използвайте Свойство на ъглополовяща (формула 5) в ΔAHC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – равнобедрен и СН – височина СН – медиана, т.е. AH = AB = 4 cm.
- AO – ъглополовяща в ΔAHC AC = 10 cm.
- Верен отговор Б).

Върху хипотенузата AB на правоъгълния ΔABC е взета точка H, така че HCB = CAB = α. Ако AC = b, то диаметърът на описаната окръжност около ΔHCB е равен на:
- А)b.sin α
- Б)b.cos α
- В)b.tg α
- Г)b.tg α
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че ΔHBC е правоъгълен.
2. Използвайте тригонометрична функция tg α за ΔABC, за да намерите търсения диаметър.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От тригонометрична функция за ΔAHC = sin α CH = AC sin α, т.е. (A): CH = b.sin α.
- От тригонометрична функция за ΔHBC = cos α (B): CH = BC cos α.
- От (А) и (В) BC cos α = b.sin α BC = .
- Верен отговор В).

Критерии за оценяване

На чертежа са построени графиките съответно на квадратната функция f (x) и на линейната функция g(x). Тези графики се пресичат в точките A(0;2) и B(3;5). Решенията на неравенството f (x) > g(x) са числата от интервала:
- А)(–∞; 0)
- Б)(0; 3)
- В)(–∞; 0) (3; +∞)
- Г)(3; +∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете неравенството графично, т.е. от графиката определете, за кой стойности на х графиката на f(x) е над графиката на g(x).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме неравенството f (x) > g(x) графично.
- От чертежа се вижда, че графиката на f(x) е над графиката на g(x) при x (–∞; 0) (3; +∞).
- Верен отговор В).

Коя от формулите задава общия член a_n, n на редицата на всички естествени числа, които при деление на 3 дават остатък 2?
- А)a_n = 3n + 2
- Б)a_n = 3n – 1
- В)a_n = 3n – 2
- Г)a_n = n² + 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Направете непосредствена проверка като заместите с n = 1, 2, 3 и т.н.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

При заместване на n = 2, 3, 4 и т.н. установяваме, че само при отговор Б) условието се изпълнява.

Ако за аритметична прогресия е известно, че a₂ + a₆ = 3 и сборът на първите 13 члена е равен на 26, то намерете разликата на прогресията.
- А)
- Б)
- В)1
- Г)6
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Съставете система като използвате Теоремите за аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за общия член на аритметична прогресия намираме, че:
  a₂ = a₁ + d, a₆ = a₁ + 5d.
- От Теорема за сумата на първите n члена на аритметична прогресия намираме, че:
  .
- Съставяме системата:
- Верен отговор А).

Клоун разполага с 2 различни панталона, 3 вида ризи, 5 различни маски за лице и 2 перуки в различен цвят. По колко различни начини той може да избере комплект от панталон, риза, маска и перука за едно представление пред публика?
- А)12
- Б)24
- В)30
- Г)60
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Правилото за умножение на елементи.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Правилото за умножение на елементи:
  - Панталоните могат да се изберат по 2 начина, защото са 2 различни.
  - При всеки избор на панталон, ризите, маските за лице и перуките могат да бъдат избирани съответно по 3, 5 и 2 начина.
  - Клоунът може да избере комплект от панталон, риза, маска и перука за едно представление пред публика по 2.3.5.2 = 60 начина.
- Верен отговор Г).

В таблицата са дадени измерените температури на 25.04.2012 г. в 12 часа на обяд в няколко български града. С колко градуса се различава модата от средната стойност на температурите в статистическия ред от данни?
- А)с 1°
- Б)с 4°
- В)с 6°
- Г)с 11°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определенията за Средна стойност на статистически данни и Мода.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме стредната стойност на статистическите данни:
- Числото което най-често се повтаря (модата на статистическите данни) е 15°.
- 16° – 15° = 1°.
- Верен отговор А).

Страната на ромб е 12 cm и острият му ъгъл е 60°. Радиусът на вписаната в ромба окръжност е равен на:
- А)3 cm
- Б)3 cm
- В)6 cm
- Г)6 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете височината на ромба.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Четириъгълникът ABCD e вписан в окръжност и DAB =120°. Ако BD =12cm и ABC = ADC , то диагоналът AC е равен на:
- А)8 cm
- Б)8 cm
- В)6 cm
- Г)4 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че ADC = ABC = 90°.
2. Намерете радиуса на описаната около ΔABD окръжност.
3. Използвайте Формула (8).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – вписан четириъгълник B + D = 180°, но B = D – по условие B = D = 90°.
- От Синусова теорема за ΔABD R = 4.
- ΔACD – правоъгълен следователно центърът на описаната около него окръжност лежи на хипотенузата, т.е. AC = 2R = 8 cm.
- Верен отговор А).

Даден е ΔABC, за който AC = 3cm, BC = 6cm и ACB =120°. Дължината на ъглополовящата CL (L AB) е:
- А)2 cm
- Б)3 cm
- В)2 cm
- Г)2 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Косинусова теорема намерете АВ.
2. Използвайте Свойство на ъглополовяща.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Косинусова теорема за ΔABC получаваме:
  AB² = AC² + BC² – 2AC.BC.cos γ = 3² + 6² – 2.3.6. AB² = 63 AB = 3 cm.
- CL – ъглополовяща BL = 2AL.
- AB = AL + BL 3 = AL + 2AL AL = , BL = 2.
- CL² = AC.BC – AL.BL = 3.6 – .2 = 4 CL = 2 cm.
- Верен отговор А).

Трапецът ABCD (AB || CD) със страни AB = 10, BC = 7, CD = 4 и AD = 5 е с лице, равно на:
- А)2
- Б)6
- В)14
- Г)42
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Постройте DE || BC и намерете височината на ΔAED.
2. Намерете Лицето на трапеца.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

В ΔABC симетралата на страната АВ пресича страната ВС в точка М така, че BM : CM = 5 : 2. Ако СН (H AB) е височина в ΔABC, намерете отношението AH : HB.
- А)1 : 5
- Б)3 : 5
- В)3 : 7
- Г)2 : 7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремата на Талес и това, че симетралата минава през средата на АВ.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- CH || MN и от Теорема на Талес , т.е. BN = 5y, NH = 2y.
- MN – симетрала на АВ AN = NB = 5y.
- AH = AN – NH = 5y – 2y = 3y.
- , т.е. AH : HB = 3 : 7.
- Верен отговор В).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Намерете стойността на израза , ако sin α ≠ –1

Вижте упътване
Упътване:

Използвайте:
1. Формулата за съкратено умножение (a + b)²
2. Формула (7).
3. Формули (1.2) и (5.1) от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”.
Вижте решение
Решение:
- Използваме формулата за съкратено умножение (a + b)², формула (7) и посочените тригонометрични формули:
- Отговор: 1.

Да се реши уравнението = –x.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Правилото за решаване на ирационални уравнения.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Формула (7):
- Отговор: x = –1.

Даден е изпъкнал n-ъгълник. Броят на всички отсечки с краища измежду върховете му е 45. Да се намери броят n на върховете на многоъгълника.

Вижте упътване

Упътване:

Нека с n отбележим броя на върховете на многоъгълника. От веки връх, към останалите върхове има n – 1 отсечки, т.е. общия брой отсечки прекарани към всички останали върхове е n.(n – 1). Но тъй като отсечките включват два върха, то броят им следва да се намали два пъти.

Вижте решение
Решение:
- Нека с n отбележим броя на върховете.
- От веки връх към останалите върхове има n–1 отсечки.
- Общия брой отсечки прекарани към всички останали върхове е n.(n – 1).
- Понеже от всеки връх излизат по две отсечки, то общият им брой трябва да се намали два пъти.
- Съставяме уравнението:
  n² – n – 90 = 0, n₁ = 10, n₂ = – 9.
- Но n е брой на върховете на многоъгълника, т.е. n е естествено число, затова крайното решение е n = n₁ = 10.
- Отговор: 10.

Група младежи решили да изпратят писма по Интернет с пожелания за късмет. Първия ден всеки от тях изпратил пожелания на петима свои приятели. Втория ден всеки от получилите пожеланието го препратил на други петима свои приятели и т.н., като всеки, получил пожелание предния ден, препращал пожеланието на петима свои приятели следващия ден. При тези условия в края на петия ден броят на изпратените пожелания бил 12500 . Колко са младежите от групата, започнали инициативата?

Вижте упътване

Упътване:

Изпратените пожелания образуват геометрична прогресия с брой на членовете n = 6, последен член a₆ = 12500, а се търси първия член a₁.

Вижте решение
Решение:
- При всяко изпращане пожеланията нарастват 5 пъти, т.е. пожеланията съставят геометрична прогресия с частно q = 5, брой на членовете n = 6 (защото се търси броят на пожеланията в края на пети ден), последен член a₆ = 12 500. Търси се a₁.
- От Теорема за общ член на геометрична прогресия получаваме:
  12 500 = a₁.5^{6 – 1} 5⁵.4 = a₁.5⁵ a₁ = 4.
- Отговор: Инициативата започнали 4 човека.

Намерете лицето на правоъгълен триъгълник с хипотенуза 5 cm и сбор от дължините на катетите 6 cm.

Вижте упътване

Упътване:

Намерете катетите и след това по формула (14) лицето на триъгълника.

Вижте решение

Решение:

Условията на задачи от 26. до 28. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2011 г. 2013 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура