Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Май 2017 година

МОДУЛ 1

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Кое от числата принадлежи на интервала (– 1,5; 1,5)?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Пресметнете всяко от числата, като използвате подходящи формули и свойства.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За отговор А) прилагаме формула (7) и Свойство 1:
  – log₅ 5 = – 1 (– 1,5; 1,5).
- Останалите отговори не ги пресмятаме.
- Верен отговор А).

Стойността на израза е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приведете под общ знаменател във всеки корен и извършете пресмятанията.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Извършваме пресмятането:
- Верен отговор А).

Кое от числата НЕ е от допустимите стойности на израза ?
- А)1
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на ирационална функция и на дробна (рационална) функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Свойство 1 на ирационална функция:
  3x – 2 ≥ 0 (1): x ≥ .
- Намираме ДМ на дробна функция:
  x(x² – 1) ≠ 0 (2): x ≠ 0, x ≠ ± 1.
- Засичаме (1) и (2), и намираме ДМ на дадената функция:
  .
- Единственото число, от дадените, което не принадлежи на този интервал е 1.
- Верен отговор А).

Множеството от решенията на уравнението е:
- А)
- Б)
- В){– 7}
- Г)∅
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете уравнение от вида (11).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ:
  x > .
- Даденото уравнение е от вид (11), затова се разпада на две уравнения:
- Нито едно от тези числа не принадлежи на ДМ, т.е. даденото уравнение няма решение.
- Верен отговор Г).

Стойността на израза е:
- А)–
- Б)
- В)
- Г)1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули, за да пресметнете логаритъма.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (6) и формула (9):
- Верен отговор Б).

Решенията на неравенството 4x² – 12x > – 9 са:
- А)x (– ∞; +∞)
- Б)x (– ∞; 1,5) (1,5; +∞)
- В)x (1,5; +∞)
- Г)x (– ∞; 1,5)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете квадратното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразувамe квадратното неравенство до основен вид:
  4x² – 12x > – 9 4x² – 12x + 9 > 0.
- Намираме дискриминантата, като използваме съкратената формула:
  D = 6² – 4.9 = 0.
- Намираме х-тата координата на върха на параболата:
  .
- Начертаваме параболата:
- Решенията са x (– ∞; 1,5) (1,5; +∞).
- Верен отговор Б).

Кое от дадените уравнения има два реални корена с различни знаци?
- А)3x² + x – 7 = 0
- Б)–2x² – 3x – 4 = 0
- В)x² – 10x + 25 = 0
- Г)3x² + 16x + 21 = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (10).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За да се изпълни условието дискриминантата трябва да е положително число.
- Уравнението от отговор Б) има отрицателна дискриминанта (което означава, че уравнението няма решение), а уравнението от отговор В) има дискриминанта равна на нула (което означава, че уравнението има двоен корен), т.е. тези два отговора не са търсеното решение.
- Използваме формулите на Виет:
  - за отговор А):
    x₁.x₂ = .
  - за отговор Г):
    x₁.x₂ = .
- Условие (10) се изпълнява само за отговор А).
- Верен отговор А).

Стойността на израза е равна на:
- А)3
- Б)
- В)
- Г)– 3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте таблица №1 и таблица №2.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Първо използваме таблица № 2 и след това таблица № 1:
- Верен отговор А).

Намерете дължината на страната BC на ΔABC, ако CL (L AB) е ъглополовящата на ACB, AL = 5 cm, AB = 9 cm и AC = 15 cm.
- А) cm
- Б)3 cm
- В)12 cm
- Г)45 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете отсечката BL.
2. Използвайте формула (5), за да намерите ВС.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От чертежа намираме BL:
  BL = AB – AL = 9 – 5 = 4 cm.
- CL – ъглополовяща и прилагаме формула (5):
  BC = 12 cm.
- Верен отговор В).

В ΔABC (C = 90°) е построена височината CH (H AB). Ако AH = 3 cm, BH = 9 cm, то дължината на AC е:
- А)3 cm
- Б)6 cm
- В)6 cm
- Г)9 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте формула (6), за да намерите височината на ΔABC.
2. За подходящ триъгълник използвайте питагорова теорема, за да намерите търсената страна.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- СН – височина в ΔABC и прилагаме формула (6):
  CH² = AH . HB = 3 . 9 = 27.
- Използваме питагорова теорема за ΔAHC:
  AC² = AH² + CH² = 3² + 27 = 36 AC = 6 cm.
- Верен отговор Б).

Коя от квадратните функции има най-голяма стойност 9?
- А)y = – 2x² – 9
- Б)y = 2x² + 9
- В)y = 2x² – 9
- Г)y = – 2x² + 9
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойство 1 и свойство 2 на квадратната функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Всички зададени функции са квадратни.
- От свойство 2 на квадратната функция следва, че тя има най-голяма стойност, ако върхът ѝ е нагоре, т.е. D < 0.
- Функциите от отговори Б) и В) имат D > 0, защото a = 2 > 0, т.е. възможните отговори са А) или Г).
- Използваме свойство 1 на квадратната функция, за да намерим x – тата координата на върха на параболата:
- Проверяваме в кой отговор се получава най-голяма стойност (НГС) равна на 9:
  - за отговор А): НГС = y (0) = – 2.0² – 9 = – 9 ≠ 9.
  - за отговор Г): НГС = y (0) = – 2.0² + 9 = 9.
- Верен отговор Г).

Критерии за оценяване

Коя от посочените числови редици е зададена с равенствата a₁ = – 1, a_n = a_{n – 1} (a_{n – 1} – 1), n ≥ 2, n ?
- А)–1, 2, 2, 2, …
- Б)–1, 0, 0, 0, …
- В)–1, 2, –1, 2, …
- Г)–1, –2, 630, …
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Заместете с дадената стойност на a₁.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме a₂ = a₁(a₁ – 1), като заместим с дадената стойност на a₁:
  - за отговор (А): a₂ = – 1 (– 1 – 1) = 2.
  - другите отговори не ги проверяваме, защото възможните отговори са А) или В).
- Намираме a₃ = a₂(a₂ – 1) в отговор А):
  a₃ = 2 (2 – 1) = 2.
- Верен отговор А).

Намерете броя на членовете на крайна аритметична прогресия, ако a₁ = 13, a₄ = 1 и сумата на всичките ѝ членове е 18.
- А)6
- Б)9
- В)12
- Г)24
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи теореми за аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От теорема 1 намираме разликата на аритметичната прогресия:
  a₄ = a₁ + 3d 1 = 13 + 3d d = – 4.
- От теорема 2 намираме търсената стойност на n:
- Решенията на това квадратно уравнение са n₁ = , n₂ = 6.
- Но n е брой на членове, т.е. трябва да е цяло положително число (естествено число), тогава търсените решения са n = n₂ = 6.
- Верен отговор А).

Ако A (1; 1) и B (– 1; 1) са точки в правоъгълна координатна система хОу, то sin AOB е равен на:
- А)– 1
- Б)0
- В)
- Г)1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Ако точките A_x и B_x са проекциите съответно на точките А и В върху абсцисната ос, докажете, че ΔOA_xA и ΔOB_xB са равнобедрени.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От дадените координати и координатната система следва, че OA_x = AA_x = 1, OB_x = BB_x = 1.
- Т.е. ΔOA_xA и ΔOB_xB са равнобедрени.
- Тогава OAA_x = AOA_x = 45°, OBB_x = BOB_x = 45°.
- AOB = 180° – (BOB_x + AOA_x) = 180° – (45° + 45°) = 90°.
- sin AOB = sin 90° = 1.
- Верен отговор Г).

Майка, баща и трите им деца отиват на кино, като билетите им са на един ред и са седнали един до друг. Намерете броя на начините, по които могат да седнат те, ако майката и бащата са седнали един до друг.
- А)12
- Б)24
- В)48
- Г)120
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете пермутации от четири елемента (участват 5 човека, но 2 са винаги един до друг и се разглеждат като един, затова общият брой елементи е 4).
2. Полученото число умножете по 2, защото майката и бащата могат да си сменят местата по два начина.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Броят на всички участници е 5 и всички имат места.
- Но двама от тях винаги са седнали един до друг. Това означава, че може да ги разглеждаме като един елемент с двама участника.
- Т.е. в събитието имаме 4 елемента.
- Затова трябва да намерим броя на пермутациите от 4 елемента:
  P₄ = 4! = 4.3.2.1 = 24.
- Майката и бащата, които ги разгледахме като един елемент, сменят местата си в този елемент по два начина.
- Намираме търсения брой:
  2.P₄ = 2.24 = 48.
- Верен отговор В).

На диаграмата са показани годишните оценки по математика на учениците от четири класа. Средният успех по математика на всички ученици е:
- А)4,00
- Б)4,33
- В)4,43
- Г)4,50
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От диаграмата намерете броя на всяка от оценките и след това използвайте формула (8).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От диаграмата намираме броя на всяка оценка:
  - Слаб – 4 оценки.
  - Среден – 8 оценки.
  - Добър – 43 оценки.
  - Мн. добър – 31 оценки.
  - Отличен – 14 оценки.
- Общият им брой е n = 100.
- Използваме формула (8), за да намерим средния успех на всички ученици:
- Верен отговор В).

За подобните ΔABC и ΔA₁B₁C₁ е дадено, че AB = + 1, A₁B₁ = и . Намерете .
- А)8
- Б)7,5
- В)5
- Г)4,5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Съставете система от подходящо свойство на подобни триъгълници и даденото.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

В ΔABC A = 30°, C = 15°, a проекцията на страната BC върху правата AB е равна на 6 cm. Дължината на радиуса на описаната около ΔABC окръжност е равен на:
- А)12 cm
- Б)6 cm
- В)6 cm
- Г)6 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От ΔBHC намерете катета СН.
2. От ΔAHC намерете хипотенузата СН.
3. Приложете синусова теорема за ΔABC, за да намерите радиуса на описаната около този триъгълник окръжност.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- HBC – външен за ΔABC HBC = BAC + ACB = 30° + 15° = 45°.
- Тогава от теорема за сбор на ъгли в ΔBHC BCH = 90° – HBC = 90° – 45° = 45°.
- Т.е. ΔBHC – равнобедрен CH = BH = 6 cm.
- В ΔAHC имаме AHC = 90°, HAC = 30° и прилагаме формула (1):
  AC = 2CH = 2.6 = 12 cm.
- Прилагаме теорема за съседни ъгли:
  ABC + HBC = 180° ABC + 45° = 180° ABC = β = 135°.
- Прилагаме синусова теорема за ΔABC:
- Верен отговор Г).

Диагоналите AC и BD на трапеца ABCD (AB || CD) са ъглополовящи на ъглите при голямата основа AB и ACB = 90°. Ако AD = 4 cm, намерете разстоянието между средите на диагоналите на ABCD.
- А)2 cm
- Б)4 cm
- В)6 cm
- Г)8 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Продължете бедрата на трапеца до пресичането им в т. Е и докажете, че ΔABE е равнобедрен.
2. Докажете, че ΔDCE ~ ΔABE и ΔDCE – равнобедрен.
3. Докажете, че AB – CD = 4 и използвайте основна зад. 1.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Продължаваме бедрата AD и BC на трапеца до пресичането им в т. Е.
- От това, че AC – височина и ъглополовяща в ΔABE следва, че ΔABE е равнобедрен (AB = AE = a).
- ΔDCE ~ ΔABC, защото: 1) BAE = CDE – като съответни ъгли на (AB || CD) ∩ AE. 2) E – общ.
- Нека DC = b, тогава от формула (3) получаваме:
  DE = b.
- AE = AD + DE a = 4 + b (1): a – b = 4.
- Построяваме MN – средна отсечка на трапеца.
- От основна зад. 1 следва, че точките P и Q са среди на диагоналите AC и BD, и .
- Заместваме с (1):
  cm.
- Верен отговор А).

Квадратът ABCD е със страна 1 cm. Диагоналите му се пресичат в точка О, а точката М е средата на DO. Ако AM ∩ DC = L, то S_ΔALD е равно на:
- А) cm²
- Б) cm²
- В) cm²
- Г) cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете диагонал на квадрата ABCD.
2. Намерете отсечките DM и BM.
3. От подобието на ΔDML и ΔABM намерете DL.
4. Намерете лицето на правоъгълния ΔADL.
Отговорът е верен.
Вижте решение

Решение:

МОДУЛ 2

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Пресметнете log₄₉ x, ако .

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте подходящи формули и свойства.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формули (12) и (9):
- Използваме формула (7):
- Отговор: .

Пресметнете израза

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте формули (7) и (8), за да премахнете отрицателните степени и извършете пресмятането.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формули (7) и (8) и пресмятаме:
- Отговор: .

За аритметичната прогресия a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆ е известно, че разликата от сбора на членовете с четни номера и сбора на членовете с нечетни номера е равна на – 15. Ако a₆ = 1, намерете сбора от членовете на прогресията.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте подходящи теореми за аритметичната прогресия.

Вижте решение
Решение:
- Нека за аритметичната прогресия да имаме a₁ – първи член, d – разлика.
- Прилагаме теорема 1:
  a₂ = a₁ + d, a₃ = a₁ + 2d, a₄ = a₁ + 3d, a₅ = a₁ + 4d, a₆ = a₁ + 5d.
- От даденото съставяме системата:
- Използваме теорема 2, за да намерим търсения сбор:
  = 81.
- Отговор: S₆ = 81.

С цифрите 1, 2, 3, 5 и 7 компютър генерира всички трицифрени числа с различни цифри. Определете каква е вероятността при случаен избор на едно от тези числа, то да се дели на 6.

Вижте упътване
Упътване:
1. Намерете броя на възможните случаи, като вариации на 5 елемента от 3 клас.
2. Намерете броя на благоприятните случаи, като използвате това, че едно число се дели на 6 когато се дели едновременно на 2 и на 3.
3. Използвайте формула (7), за да намерите търсената вероятност.
Вижте решение
Решение:
- Намираме n (брой на възможните случаи) – Използват се три от дадените пет елемента, като редът им има значение. Затова намираме вариации на 5 елемента от 3 клас, т.е.
  n = V₅³= 5.4.3 = 60.
- Намираме m (брой на благоприятните случаи):
  - Едно число се дели на 6, когато се дели едновременно на 2 и на 3.
  - От дадените цифри, само цифрите 1, 2, 3 и 2, 3, 7 могат да съставят трицифрено число делящо се на 6 (числата се делят на 2, защото последната им цифра може да е четно число и на 3, защото сборът от цифрите им, съставя число делящо се на 3).
  - С цифрите 1, 2, 3 може да съставим две различни четни числа. Това са числата 132 и 312.
  - По подобен начин, с цифрите 2, 3, 7 може да съставим две различни четни числа. Числата са 372 и 732.
  - m = 4 (две числа с цифрите 1, 2, 3 и още две числа с цифрите 2, 3, 7, общо четири).
- Намираме търсената вероятност p:
  .
- Отговор: p = .

Точките M и N лежат съответно на страните AC и BC на ΔABC, като AM = 3 cm, MC = 9 cm, BN = 12 cm и NC = 6 cm. Намерете дължината на страната AB, ако в четириъгълника ABNM може да се впише окръжност.

Вижте упътване
Упътване:
1. Приложете косинусова теорема за ΔMNC и ΔABC, за да намерите връзката между страните АВ и MN.
2. Използвайте формула (2), за да намерите АВ.
Вижте решение

Решение:

Условията на задачи от 26. до 28. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2016 г. 2018 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура