Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Май 2018 година

МОДУЛ 1

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Кое от посочените числа НЕ е цяло?
- А)0,5^{– 2}
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За отговор А) превръщаме десетичното число в обикновена дроб и прилагаме формула (8):
  0,5^{– 2} = = 2² = 4, т.е. цяло число.
- За отговор Б) прилагаме формула (6):
  = – 2, т.е. цяло число.
- За отговор Б) прилагаме същата формула (6):
  = – 2, т.е. цяло число.
- За отговор В) прилагаме същата формула (6):
  = 2, т.е. числото е ирационално.
- Верен отговор Г).

При a < b < 2a изразът + 2|b – 2a| е тъждествено равен на:
- А)6a – 4b
- Б)2b – 4a
- В)0
- Г)4a – 2b
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Приложете формула (3), за да се освободите от корените.
2. Приложете формули (13) и (14), за да се освободите от модулите.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (3):
  + 2|b – 2a| = a – b + |a – b|+ 2|b – 2a|.
- Прилагаме формули (13), (14) и условието a < b < 2a:
  a – b + |a – b|+ 2|b – 2a| = a – b + b – a + 2(2a – b) = 4a – 2b.
- Верен отговор Г).

При x ≠ ± 1 изразът е тъждествено равен на:
- А)1
- Б)– 1
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Приведете под общ знаменател и опростете получения дробен израз.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Привеждаме под общ знаменател и опростяваме:
- Верен отговор Б).

Кое от изброените числа НЕ е решение на уравнението (x – 1)(x – 3)(x – 5) + (5 – x)(x – 3)(x – 1)(x + 1) = 0?
- А)– 1
- Б)1
- В)3
- Г)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Направете директна проверка.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
I начин:
- Изнасяме – 1 от първата скоба на второто събираемо и получаваме:
  (x – 1)(x – 3)(x – 5) – (x – 5)(x – 3)(x – 1)(x + 1) = 0.
- Разлагаме на множители, като изнесем пред скоба изразите, които се повтарят:
  (x – 1)(x – 3)(x – 5) – (x – 5)(x – 3)(x – 1)(x + 1) = 0 (x – 1)(x – 3)(x – 5)[(1 – (x + 1)] = 0 x(x – 1)(x – 3)(x – 5) = 0.
- Решаваме уравнение от вида (x – a)(x – b) = 0:
  - x = 0.
  - x – 1 = 0 x = 1.
  - x – 3 = 0 x = 3.
  - x – 5 = 0 x = 5.
- От посочените числа само – 1 не е решение.
- Верен отговор А).
II начин:
- Чрез непосредствена проверка установяваме, че само – 1 не е решение.
- Верен отговор А).

Стойността на израза е:
- А)– 9
- Б)– 3
- В)3
- Г)9
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формули (1) и (4).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формули (1) и (4):
- Верен отговор А).

Реалните корени на уравнението – 2x⁴ – x² + 1 = 0 са:
- А)± 1; ±
- Б)±
- В)± 1
- Г)1;
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете биквадратното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме биквадратното уравнение:
  - Премахваме минуса пред най-високата степен на неизвестното:
    – 2x⁴ – x² + 1 = 0 | . (– 1) 2x⁴ + x² – 1 = 0.
  - Полагаме x² = y ≥ 0.
  - Получаваме квадратното уравнение:
    2y² + y – 1 = 0.
  - Корените му са:
    y₁ = – 1 ∉ ДМ_y; y₂ = .
  - Заместваме в полагането с y₂ и решаваме полученото непълно квадратно уравнение:
    x² = x = ± .
- Верен отговор Б).

Ако x₁ и x₂ са корени на уравнението 4x² – 7x + 1 = 0, то кое от твърденията НЕ е вярно?
- А)x₁.x₂ = –
- Б)x₁.x₂ > 0
- В)x₁ + x₂ > 0
- Г) = 7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формулите на Виет:
  - x₁.x₂ = .
  - x₁ + x₂ = .
- Верен отговор А).
Бележка:
Отговор Г) не следва от горното решение, но лесно може да се провери, че е верен. Тази проверка е излишно да се прави, защото вече сме открили търсения отговор.

Изразът M = (sin α + cos α)² + (sin α – cos α)² е тъждествено равен на:
- А)1
- Б)2sin 2α
- В)2
- Г) – 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула за съкратено умножение и основното тригонометрично равенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формули за съкратено умножение (1) и (2), и Тригонометрична формула (1.1):
  (sin α + cos α)² + (sin α – cos α)² = sin² α + 2sin α cos α + cos² α + sin² α – 2sin α cos α + cos² α = 2(sin² α + cos² α) = 2.
- Верен отговор В).

В ΔABC е построена права, успоредна на AC, която пресича страните AB и BC съответно в точки P и Q. Ако BQ : QP = 5 : 4 и BC = 15 cm, намерете дължината на страната AC.
- А)18,75 cm
- Б)15 cm
- В)12 cm
- Г)9 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Докажете, че два триъгълника са подобни и използвайте подходящо свойство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение записваме BQ = 5x, QP = 4x.
- ΔPQB ~ ΔACB по I признак, защото: 1) PQB = ACB (като съответни ъгли на AC || PQ); 2) B – общ.
- От формула (3) получаваме:
  AC = 12 cm.
- Верен отговор В).

Окръжностите k (O; r = 3) и k₁ (O₁; r₁ = 4) се допират външно. През точката О е построена допирателна OT към k₁. Лицето на ΔOO₁T е:
- А)3
- Б)6
- В)2
- Г)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че ΔOO₁T е правоъгълен.
2. Използвайте питагорова теорема, за да намерите катета ОТ.
3. Използвайте формула (14).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- OT – допирателна до k₁ и O₁T = r₁ = 4, и от Теорема за допирателна следва, че OT O₁T, т.е. ΔOO₁T (T = 90°) е правоъгълен.
- OO₁ = r + r₁ = 3 + 4 = 7 cm.
- Използваме питагорова теорема за ΔOO₁T:
  OO₁² = OT² + O₁T² 7² = OT² + 4² OT = cm.
- Прилагаме формула (14) за ΔOO₁T:
  = 2 cm².
- Верен отговор В).

На кой интервал принадлежи абсцисата на върха на параболата y = x² + x – 6?
- А)(– ∞; – 2)
- Б)(– ∞; – 1)
- В)(– 6,75; – 2)
- Г)(– 1; 1,5)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойство 1 на квадратна функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От свойство 1 на квадратна функция намираме върха на параболата:
  x_V = .
- Това число принадлежи на интервала от отговор Б).
- Верен отговор Б).

Дадена е числова редица с общ член a_n = , n . Стойността на a₄ . a₈ е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Задавайте стойности на n и намерете елементите a₄ и a₈.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Задаваме произволни стойности на n:
  - При n = 4 получаваме a₄ = .
  - При n = 8 получаваме a₈ = .
- Намираме търсеното произведение:
  a₄ . a₈ = .
- Верен отговор А).

Разликата на аритметична прогресия е . Намерете 22-рия член на редицата, ако вторият ѝ член е 2.
- А)12
- Б)12,5
- В)13
- Г)22
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи теореми за аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме теорема 1, за да намерим първия член на аритметичната прогресия:
  a₂ = a₁ + d 2 = a₁ + a₁ = .
- Отново използваме теорема 1:
  a₂₂ = a₁ + 21d = +21 . = 12.
- Верен отговор А).

Стойността на израза sin – sin е равна на стойността на:
- А)sin π
- Б)2sin
- В)2sin
- Г)2sin – 2sin
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Таблица 1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Таблица 1, за да пресметнем дадения израз:
  sin – sin = – 1 – 1 = – 2.
- Отново използваме Таблица 1, за да проверим отговорите:
  А) sin π = 1.
  
  Б) 2sin = 1.2 = 2.
  
  В) 2sin = 2.(– 1) = – 2.
- Верен отговор В).
Бележка:
Отговор Г) не го проверяваме, защото вече сме открили верния отговор на задачата.

Ако от група ученици могат да се изберат двама по 45 начина, то колко ученици има в тази група?
- А)90
- Б)30
- В)20
- Г)10
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Не се използват всички елементи (избират се двама ученика от една група), като редът им няма значение, затова използвайте формулата за комбинации.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека с n да отбележим всички ученици в групата.
- Избират се само двама ученика от общо n, т.е. не се използват всички елементи от групата, като редът на избор няма значение.
- Затова използваме формулата за комбинации на n елемента от втори клас:
  n² – n – 90 = 0.
- Това квадратно уравнение има решения:
  - n₁ = – 9 ∉ ДМ_n, защото n трябва да е естествено число.
  - n₂ = 10.
- Верен отговор Г).

Към статистическия ред 2, 5, 7, 9, 17 е добавено ново число така, че двата реда да имат една и съща средноаритметична стойност. Медианата на новия ред е:
- А)7
- Б)7,5
- В)8
- Г)8,5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (8) и определението за медиана.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формула (8) намираме средноаритметичната стойност на първия ред:
  ср.арит.₁ = = 8.
- Нека новото число да отбележим с х и прилагаме същата формула за втория ред:
- Вторият ред е от числата: 2, 5, 7, 8, 9, 17.
- Този ред има четен брой елементи, тогава медианата му е равна на средноаритметичното на двата елемента по средата:
  Медиана₂ = = 7,5.
- Верен отговор Б).

В ΔABC страната AB = 2 cm, а дължината на радиуса на описаната около него окръжност е R = 2 cm. Градусната мярка на ACB, ако той е най-големият ъгъл в триъгълника, е:
- А)45°
- Б)90°
- В)120°
- Г)135°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте синусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (2):
  = 2 . 2 sin γ = , т.е. γ = 45° или γ = 135°.
- По условие търсим най-големия ъгъл, т.е. γ = 135°.
- Верен отговор Г).

В успоредник дължините на по-малката страна и на по-малкия диагонал са съответно равни на 8 cm и 6 cm, а ъгълът между тях е 60°. Дължината на другия диагонал на успоредника е равна на:
- А)4 cm
- Б)8 cm
- В)6 cm
- Г)14 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте косинусова теорема за подходящ триъгълник, за да намерите половината от диагонала.
2. Използвайте теорема-свойство на успоредника, за да намерите търсения диагонал.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – успоредник и от теорема-свойство следва, че BO = DO = 3 cm.
- Прилагаме косинусова теорема за ΔCOB:
  CO² = BO² + BC² – 2BO.BC.cos OBC = 3² + 8² – 2.3.8. = 49 CO = 7.
- Тогава AC = 2CO = 2.7 = 14 cm.
- Верен отговор Г).
Бележка:

Оказва се, че в условието на задачата има грешка. По условие са зададени параметри на по-малката страна и на по-малкия диагонал, които образуват ъгъл 60°. Като се направи сметка (например, като използваме формула (7) и така получената стойност на другия диагонал), излиза, че другата страна на успоредника се оказва още по-малка от по-малката. Което означава, че такъв успоредник не съществува.

От министерството на образованието дават следното обяснение: "Задачата има за цел да провери косинусовата теорема. Това е задача, която съдържа в условието си фактическа грешка, но тя нито пречи, нито помага за решаването на задачата. Косинусовата теорема може да се приложи само за половинката на диагонала, който се търси. Задачата не е за построение".

Дали това обяснение за допуснатата неточност е задоволително или не, аз не знам. Самият факт, че на матура дават задача, която съдържа в условието си фактическа грешка, е меко казано притеснителен.

Дължините на диагоналите на четириъгълник са – 1 cm и 2 cm, а ъгълът между тях е 105°. Лицето на четириъгълника е:
- А) cm²
- Б)1 cm²
- В) cm²
- Г)2 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Тригонометрична формула (4.1), за да намерите sin 105°
2. Използвайте формула (3), за да намерите лицето на четириъгълника.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Тригонометрична формула (4.1):
  sin 105° = sin (60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45° = ( + 1).
- Използваме формула (3):
  S = . d₁ . d₂ . sin 105° = . + 1) = 1 cm².
- Верен отговор Б).

Равнобедрен трапец с остър ъгъл 30° е описан около окръжност. Ако височината му е равна на 10 cm, то дължината на голямата основа е:
- А)40 – 10 cm
- Б)20 – 10 cm
- В)20 cm
- Г)20 + 10 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. В подходящ правоъгълен триъгълник използвайте формула (1), за да намерите бедрото на трапеца.
2. Съставете система от две уравнения, като за едното използвайте формула (15) от равнобедрен трапец, а за другото – Теорема 3 от трапец описан около окръжност.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека основите на трапеца да отбележим с AB = a, CD = b.
- Прилагаме формула (1) за ΔAHD (AHD = 90°, A = 30°):
  AD = 2DH = 2.10 = 20.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔAHD:
  AD² = AH² + DH² 20² = AH² + 10² AH² = 300 AH = 10.
- Намираме голямата основа AB:
  - ABCD – равнобедрен трапец и от формула (15) получаваме:
    AH = (1): a – b = 20.
  - ABCD – описан равнобедрен трапец и от Теорема 3 получаваме:
    AD + BC = AB + CD 2AD = a + b (2): a + b = 40.
  - От (1) и (2) съставяме система и я решаваме чрез събиране:
    2a = 40 + 20 a = AB = 20 + 10.
- Верен отговор Г).

МОДУЛ 2

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Пресметнете стойността на израза .

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте подходящи формули.

Вижте решение
Решение:
- Използваме подходящи формули:
- Отговор: 2.

Намерете най-голямата стойност на функцията f (x) = x² – 7x + 6 в интервала [1; 5].

Вижте упътване

Упътване:

Изследвайте дадената квадратна функция.

Вижте решение
Решение:
- Функцията f (x) е квадратна, т.е. графиката ѝ е парабола с връх надолу, защото имаме a = 1 > 0.
- Определяме х-тата координата на върха на параболата:
  x_v = = 3,5 [1; 5].
- От Свойство 2 следва, че f (x) има НМС (най-малка стойност) при x = 3,5.
- Тогава НГС (най-голямата стойност) ще бъде по-голямото число от стойността на f (x) в някой от краищата на дадения интервал:
  - f (1) = 1² – 7.1 + 6 = 0.
  - f (5) = 5² – 7.5 + 6 = – 4.
  - f (5) < f (1) max f (x) = f (1) = 0.
- Отговор: max f (x) = f (1) = 0.

Намерете произведението от първия и третия член на числова редица с положителни членове, за която a₁² + a₁ – 6 = 0 и a_n = 2a_{n – 1} – 1, n , n ≥ 2.

Вижте упътване
Упътване:
1. Решете квадратното уравнение, за да намерите първия член на редицата.
2. От рекурентната зависимост намерете a₃.
3. Намерете търсеното произведение.
Вижте решение
Решение:
- Решаваме квадратното уравнение, за да намерим първия член a₁:
  a₁² + a₁ – 6 = 0 a_1,1 = – 3 < 0, a_1,2 = 2, т.е. a₁ = 2.
- От даденото равенство a_n = 2a_{n – 1} – 1 (рекурентна зависимост) намираме няколко поредни члена:
  - a₂ = 2.2 – 1 = 3.
  - a₃ = 2.3 – 1 = 5.
- Намираме търсеното произведение:
  a₁.a₃ = 2.5 = 10.
- Отговор: 10.

От всички трицифрени числа, записани с различни четни цифри, чийто сбор е 12, е избрано едно число. Определете каква е вероятността това число да се дели на 15.

Вижте упътване
Упътване:
1. Едно число се дели на 15, ако едновременно се дели на 3 и 5.
2. По условие цифрите на търсеното число трябва да са четни и за да се дели на 5, т.е. последната му цифра трябва да е 0.
3. Намерете броя на възможните случаи, като разпишете всички 10 числа с посочените свойства.
4. От така разписаните числа определете броя на благоприятните случаи.
5. Използвайте формула (7), за да намерите търсената вероятност.
Вижте решение
Решение:

Ще решим задачата по логичен начин, без да използваме формули от комбинаториката.
- Четните цифри са: 0, 2, 4, 6 и 8.
- По условие сборът от цифрите на получените трицифрени числа трябва да е 12.
- Разписваме всички трицифрени числа с посочените свойства:
  - С цифрите 2, 4 и 6 се получават числата: 246; 264; 426; 462; 624 и 642.
  - С цифрите 0, 4 и 8 се получават числата: 840; 804; 480 и 408 (може да се получат числата 048 и 084, но те не са трицифрени, а двуцифрени, затова те не се включват).
- Като преброим разписаните трицифрени числа, стигаме до извода, че броят на възможните случаи е n = 10.
- Намираме m (броя на благоприятните случаи): Едно число се дели на 15, ако едновременно се дели на 3 и 5. Това означава, че търсените числа трябва да завършват на 0 и това са числата 840 и 480, т.е. m = 2.
- Намираме търсената вероятност:
  p = .
- Отговор: p = .

Периметърът на равнобедрен триъгълник е 18 cm. Основата му е с 3 cm по-голяма от бедрото. Намерете дължината на радиуса на описаната около триъгълника окръжност.

Вижте упътване
Упътване:
1. Използвайте даденото условие, за да намерите страните на триъгълника.
2. Използвайте формула (5), за да намерите лицето на триъгълника.
3. Използвайте формула (4), за да намерите търсения радиус.
Вижте решение
Решение:
- По условие имаме AC = BC = x, AB = x + 3.
- Намираме всяка страна:
  P = AB + BC + AC 18 = x + 3 + x + x x = 5, т.е. AC = BC = 5, AB = x + 3 = 8.
- Използваме Хероновата формула:
- Използваме формула (4), за да намерим търсения радиус:
  S = R = 4 cm.
- Отговор: R = 4 cm.

Условията на задачи от 26. до 28. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2017 г. 2019 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура