Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Май 2016 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Кое от числата е по-голямо от 4?
- А)
- Б)3
- В)
- Г)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Превърнете всички отговори в корени и сравнете подкоренните величини.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека запишем 4 = .
- Сравняваме числата:
  - За отговор А) прилагаме формула (6):
    = 2 < 4, т.е. НЕ Е търсеното решение.
  - За отговор Б) внасяме числото под корена:
    3 = , т.е. ТОВА Е търсеното решение.
  - Другите отговори не ги проверяваме.
- Верен отговор Б).

Стойността на израза е:
- А)4 –
- Б)2 +
- В)4 +
- Г)2 + 3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (3) и формула за съкратено умножение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (3) и подходяща формула за съкратено умножение:
  = |1 – | + 2 + 2 + 1.
- Но 1 < и прилагаме формула (14):
  |1 – | + 2 + 2 + 1 = – 1 + 2 + 2 + 1 = 2 + 3.
- Верен отговор Г).

Допустимите стойности на израза са:
- А)x ≠ –2
- Б)x ≠ 2, x ≠ 3
- В)x ≠ ±2
- Г)x ≠ ±2, x ≠ 3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на дробна (рационална) функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ на дробна (рационална) функция:
  - x – 3 ≠ 0 x ≠ 3.
  - x² – 4 ≠ 0 (x – 2)(x + 2) ≠ 0 x ≠ ±2.
- Верен отговор Г).

Решенията на уравнението x(3x + 1) = 3x + 1 са:
- А)1
- Б)– 1 и 1
- В)– и 1
- Г)– 1 и
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете квадратното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото уравнение до квадратно:
  x(3x + 1) = 3x + 1 3x² + x = 3x + 1 3x² – 2x – 1 = 0.
- Използваме кратката формула, за да решим квадратното уравнение:
  - D = 1 + 3 = 4 = 2.
  - x₁ = – , x₂ = 1.
- Верен отговор В).

Ако a = log₃ 3⁶ – log₂ 2 + log₅ 1, то стойността на израза е равна на:
- А)25
- Б)5
- В)2
- Г)1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Пресметнете логаритмите.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Пресмятаме a:
  a = log₃ 3⁶ – log₂ 2 + log₅ 1 = 6 – 1 + 0 = 5.
- Намираме:
  = a² = 5² = 25.
- Верен отговор А).

Решенията на уравнението 5x² – 4 = x⁴ са:
- А)1; 4
- Б)1; 2
- В)±2
- Г)±1; ±2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете биквадратното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразувамe биквадратното уравнение до основен вид:
  x⁴ – 5x² + 4 = 0.
- Полагаме x² = y, ДМ_y: y ≥ 0.
- Решаваме полученото квадратно уравнение:
  y² – 5y + 4 = 0, D = 9, y₁ = 1, y₂ = 4.
- От полагането
  - при y₁ = 1 получаваме x² = 1 x_1/2 = ± 1;
  - при y₂ = 4 получаваме x² = 4 x_3/4 = ± 2.
- Верен отговор Г).

Ако x₁ и x₂ са реалните корени на уравнението – x + x² = 2, то стойността на израза A = е равна на:
- А)–
- Б)–
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото уравнение:
  – x + x² = 2 5x² – x – 10 = 0.
- Използваме формулите на Виет:
  x₁ + x₂ = , x₁ . x₂ = – 2.
- Преобразуваме израза A, така че да използваме формулите на Виет:
- Верен отговор А).

Коя от посочените системи няма решение в множеството на реалните числа?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че една система няма решение, когато едно от уравненията няма решение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата от отговор А) чрез заместване:
  x² + 3² = 4 x² = – 5, няма решение.
- Верен отговор А).

На чертежа правите a и b са успоредни, OA = 8, CD = 16 и OC : AB = 8 : 9. Дължината на отсечката ОВ е:
- А)12
- Б)
- В)20
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремата на Талес.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От OC : AB = 8 : 9 OC = 8x, AB = 9x.
- Прилагаме формула (2):
- Тогава AB = 9x = 9. = 12.
- OB = OA + AB = 8 + 12 = 20.
- Верен отговор В).

Дължините на катетите на правоъгълен ΔABC (ACB = 90°) са 3 и 4. Ако вписаната в триъгълника окръжност се допира до страната AB в точка М, то AM . MB е равно на:
- А)0,5
- Б)2
- В)3
- Г)6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Питагорова теорема, за да намерите хипотенузата.
2. Използвайте формула (5).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔABC:
  AB² = AC² + BC² = 4² + 3² = 25 AB = 5.
- p = = 6.
- Прилагаме формула (5):
  AM = p – BC = 6 – 3 = 3; MB = p – AC = 6 – 4 = 2.
- AM . MB = 3 . 2 = 6.
- Верен отговор Г).

Критерии за оценяване

Координатите на върха на параболата y = – 2x² + 4x – 1 са:
- А)(1; 1)
- Б)(– 1; 1)
- В)(– 1; – 7)
- Г)(1; – 1)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Свойство 1 на квадратната функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Свойство 1 на квадратната функция, за да намерим x – тата координата:
  x_v = – = 1.
- Намираме y координата:
  y (1) = – 2.1² + 4.1 – 1 = 1.
- Верен отговор А).

Последният член на редицата с общ член a_n = n(n – 7), n е 60. Броят n на членовете на тази редица e:
- А)5
- Б)12
- В)17
- Г)60
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Заместете с дадената стойност на a_n и решете полученото квадратно уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Заместваме дадената стойност на a_n:
  n(n – 7) = 60 n² – 7n – 60 = 0.
- Решенията на това квадратно уравнения са n₁ = – 5, n₂ = 12.
- Но n е естествено число, т.е. n = 12.
- Верен отговор Б).

За растяща геометрична прогресия с първи член, равен на 1, е известно, че a₁ + a₅ = 5. Частното q на тази прогресия е равно на:
- А)2
- Б)
- В)–
- Г)– 4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща теоремата за геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Теорема 1 от геометрична прогресия:
  a₅ = a₁ q⁴.
- Заместваме в даденото:
  a₁ + a₅ = 5 1 + 1.q⁴ = 5 q⁴ = 4 .
- По условие прогресията е растяща, т.е. q = .
- Верен отговор Б).

Стойността на израза sin 150° – cos 240° + tg (– 45°) е:
- А)2
- Б)0
- В)–
- Г)– 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща Таблица.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Таблица № 2 намираме
  - tg (– 45°) = – tg 45°.
  - cos 240° = cos (180° + 60°) = – cos 60°.
- Използваме Таблица № 1:
  sin 150° – cos 240° + tg (– 45°) = sin 150° + cos 60° – tg 45° = + – 1 = 0.
- Верен отговор Б).

На диаграмата е дадено процентното разпределение на оценките на ученици в края на първия и в края на втория срок. Броят на учениците и през двата срока е 150. Колко ученици повече са получили оценка „много добър (5)“ в края на втория срок в сравнение с първия учебен срок?
- А)15
- Б)10
- В)6
- Г)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От диаграмата намерете броя на учениците имащи оценка „много добър (5)” в края на всеки срок и ги сравнете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От диаграмата намираме, че броят на учениците имащи оценка „много добър (5)” в края на
  - I срок е 30%, т.е. 0,30 от 150 = 45.
  - II срок е 40%, т.е. 0,40 от 150 = 60.
- Тогава 60 – 45 = 15.
- Верен отговор А).

Броят на четните четирицифрени числа с различни цифри, които могат да се запишат само с цифрите 1, 2, 4 и 8, е:
- А)4
- Б)12
- В)18
- Г)24
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете пермутации от четири елемента Р₄.
2. От четирите дадени цифри само три могат да са последни, защото полученото число ще е четно, т.е. намерете пермутации от три елемента Р₃.
3. Намерете P₄ – P₃, за да отговорите на въпроса.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Дадените четири елемента се използват всичките.
- Т.е., за да намерим броя на всички четирицифрени числа, получени от дадените четири цифри, трябва да намерим пермутации от 4 елемента:
  P₄ = 4! = 4.3.2.1 = 24.
- От дадените числа само едно не е четно. Следователно, то не може да е последна цифра.
- Остават три цифри. Броя на числата, при които всяка от тези цифри е последна, е:
  P₃ = 3! = 3.2.1. = 6.
- Четните четирицифрени числа с различни цифри, които могат да се запишат само с цифрите 1, 2, 4 и 8 са:
  P₄ – P₃ = 24 – 6 = 18.
- Верен отговор В).

За ΔABC AC = 3 cm, BC = 3 cm и BAC е два пъти по-голям от ABC. Дължината на радиуса на описаната окръжност около ΔABC, е:
- А)1,5 cm
- Б) cm
- В) cm
- Г)3 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Синусова теорема, за да намерите ABC.
2. Отново от синусова теорема намерете R.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Синусова теорема за ΔABC:
  3 sin β = 3 sin 2β.
- Прилагаме Тр.Ф. (5.1) и Таблица 1:
  3 sin β = 3 sin 2β 3 sin β = 3.2.sin β cos β cos β = β = 45°.
- sin 2β = sin 2.45° = sun 90° = 1.
- Отново използваме Синусова теорема за ΔABC:
  2R cm.
- Верен отговор В).

В триъгълник с ъгъл 120° дължината на най-голямата страна е 7, а разликата на другите две страни е 2. Намерете дължината най-малката страна на триъгълника.
- А)3
- Б)4
- В)5
- Г)7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Косинусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека страните на триъгълника са a, b и c, като a < b < c, тогава γ е най-голям, т.е. γ = 120°.
- По условие b = 2 + a, като търсим a.
- Прилагаме Косинусова теорема:
  c² = a² + b² – 2ab.cos 120° 7² = a² + (2 + a)² – 2.a.(2 + a). a² + 2a – 45 = 0, a₁ = 3, a₂ = – 5 < 0, т.е. търсената стойност е a = 3.
- Верен отговор А).

Страните AB и AD на успоредника ABCD имат съответно дължини 3 cm и 5 cm. Диагоналът BD = 4 cm. Дължината на другия диагонал на успоредника e:
- А)4 cm
- Б)6 cm
- В)2 cm
- Г)12 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (7).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формула (7) получаваме:
  AC² + BD² = 2(AB² + AD²) AC² + (4)² = 2(3² + 5²) AC² = 36 AC = 6.
- Верен отговор Б).

В правоъгълен трапец АВCD с BAD = 90° е вписана окръжност с радиус r = 4. Ако sin ABC = 0,8, то лицето на трапеца е равно на:
- А)36
- Б)72
- В)72
- Г)144
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете височината и бедрото AD на трапеца.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете бедрото BC.
3. Използвайте Теорема 3, за да намерите сбора на двете основи.
4. Намерете лицето на трапеца.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – описан правоъгълен трапец AD = h = 2r = 2.4 = 8.
- За ΔHBC – правоъгълен прилагаме тригонометрична функция синус, за да намерим BC:
  sin β = BC = 10.
- От ABCD – описан трапец AB + CD = AD + BC = 8 + 10 = 18.
- Използваме формула (19):
  .8 = 72.
- Верен отговор Б).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Намерете стойността на израза , ако tg α = 4.

Вижте упътване

Упътване:

Намерете sin α и cos α, и заместете в дадения израз.

Вижте решение

Решение:

Решете неравенството .

Вижте упътване

Упътване:

Решете дробното неравенство.

Вижте решение
Решение:
- Намираме Д.М.: x ≠ 0.
- Преобразуваме до основен вид:
- Решаваме неравенството, като използваме метода на интервалите:
  - Нулираме числител и знаменател: x = – 3, x = 3, x = 0.
  - Нанасяме върху числовата от и определяме знаците:
  - Определяме решенията:
    x (– 3; 0) (3; +∞).
- Отговор: x (– 3; 0) (3; +∞).

Запишете числото х, за което е изпълнено равенството .

Вижте упътване

Упътване:

Решете показателното уравнение.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме показателното уравнение:
- Отговор: x = .

През последните няколко последователни вечери на месец април температурите, измерени в градуси, са били следните 2; 3; 2; 4; 17; 16; 17; 17; 14; 14; 15. Намерете стойността на израза 2P + M + S , където P е медианата, M е модата, а S е средната стойност на статистическия ред.

Вижте упътване
Упътване:
1. Намерете медианата.
2. Намерете модата.
3. Намерете средната стойност.
Вижте решение
Решение:
- Подреждаме числата във възходящ ред:
  2; 2; 3; 4; 14; 14; 15; 16; 17; 17; 17.
- Намираме медианата Р: Числата са нечетен брой, т.е. медианата е числото в средата или P = 14.
- Намираме модата М: Числото което се повтаря най-много е 17, т.е. М = 17.
- Намираме средната стойност S:
- 2P + M + S = 2.14 + 17 + 11 = 56.
- Отговор: 2P + M + S = 56.

Намерете лицето на остроъгълен ΔABC със страни AB = 8 cm, BC = 7 cm и BAC = 60°.

Вижте упътване
Упътване:
1. Използвайте Косинусова теорема, за да намерите страната АС.
2. Използвайте подходяща формула за лице на триъгълник.
Вижте решение
Решение:
- Означаваме: BC = a, AC = b, AB = c, BAC = α и използваме Косинусова теорема:
  a² = b² + c² – 2bc.cos α 7² = b² + 8² – 2.b.8. b² – 8b + 15 = 0.
- Това квадратно уравнение има решения b₁ = 3 и b₂ = 5.
- От Теорема свойство на неравенства на триъгълника следва, че b = AC = 5, защото при b = 3 се получава 8² > 7² + 3².
- S_ΔABC = AC . AB . sin α = .5.8. = 10.
- Отговор: S_ΔABC = 10 cm².

Условията на задачи от 26. до 28. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2015 г. 2017 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура