Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Май 2015 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Кое е най-голямото от посочените числа?
- А)
- Б)
- В)
- Г)16⁰
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете корените като използвате свойствата на ирационална функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Сравняваме числата:
- Верен отговор А).

Ако a = , а b = , то ab е равно на:
- А)2 ^–1
- Б)
- В)
- Г)2 ^–5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (1).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (1):
  a.b = .
- Верен отговор В).

Множеството от допустимите стойности на израза A = е:
- А)x (–∞; +∞)
- Б)x (–∞; –) (; +∞)
- В)x (–∞; 0) (0; +∞)
- Г)x [–; ]
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на дробна (рационална) функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ на дробна (рационална) функция:
  |x| + ≠ 0 |x| ≠ – , за x.
- Верен отговор А).

Решенията на неравенството < 0 са:
- А)x (–1; 3]
- Б)x (–∞; –1) (3; +∞)
- В)x (–1; 2) (3; +∞)
- Г)x (–1; 2) (2; 3)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете дробното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме метода на интервалите.
- Нулираме числителя:
  - (x – 2)² = 0 x = 2, но числото x – 2 е на квадрат, т.е. имаме частен случай.
  - x + 1 = 0 x = –1.
- Нулираме знаменателя:
  x – 3 = 0 x = 3.
- Нанасяме тези числа върху числовата ос, но числото идващо от частния случай (числото 2) не се включва в подинтервалите. Знака на най-десният подинтервал е плюс, защото няма минуси пред неизвестното:
- Определяме решенията:
  x (–1; 2) (2; 3).
- Верен отговор Г).

Стойността на израза + log₅ 1 е равна на:
- А)1
- Б)2
- В)5
- Г)7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Пресметнете логаритмите.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Пресмятаме логаритмите:
- Верен отговор Г).

НЕВЯРНОТО твърдение за функцията f (x) = x² – 2x е:
- А)Стойността на функцията f (x) при x = 0 е равна на 0
- Б)Графиката на функцията f (x) е парабола
- В)Функцията f (x) е дефинирана за всяко x
- Г)Графиката на функцията f (x) е симетрична спрямо ординатната ос Oy
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте свойствата на квадратната функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Оста на симетрия на парабола е права, успоредна на оста Oy и минаваща през върха на параболата.
- Както се вижда от чертежа, графиката на функцията f (x) е симетрична спрямо ос построена през x = 1 (оста на симетрия).
  Бележка:
  Чертежът е само за илюстрация. Той не е част от решението на задачата.
- Верен отговор Г).

Кое от уравненията има два отрицателни реални корена?
- А)–3x² + 7x + 2 = 0
- Б)3x² + 7x + 2 = 0
- В)–3x² + 7x – 2 = 0
- Г)3x² + 7x – 2 = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет и условие (8).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Проверяваме, че само за квадратното уравнение от отговор Б) се изпълнява условие (8).
- Верен отговор Б).

Изразът cos α. cos (90° + α) е тъждествено равен на:
- А)sin 2α
- Б)–sin 2α
- В)–cos² α
- Г)cos² α
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Таблица №2 и тригонометрична формула (5.1).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Таблица №2 и тригонометрична формула (5.1):
  cos α . cos (90° + α) = cos α . (–sin α) = –sin α . cos α . . 2sin α . cos α = – sin 2α.
- Верен отговор Б).

В правоъгълния ΔABC (ABC = 90°) височината CH дели хипотенузата AB на отсечки AH = 2 cm и BH = 8 cm. Тангенсът на CBA е равен на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формули (6) и (12).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формула (6) намираме височината:
  CH² = AH.BH = 2.8 = 16 CH = 4 cm.
- Прилагаме формула (12) за ΔBHC:
  tg CBH = .
- Верен отговор В).

На чертежа MN || AB. Ако MO : OA = 3 : 5, то отношението CN : NA е равно на:
- А)3 : 5
- Б)5 : 3
- В)2 : 3
- Г)3 : 2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От ΔMNO ~ ΔABO намерете отношението MN : AB.
2. От ΔNMC ~ ΔABC намерете търсеното отношение.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔMNO ~ ΔABO по I признак, защото: 1) MON = AOB – като връхни ъгли; 2) NMO = BAO (като кръстни ъгли на MN || AB) .
- ΔNMC ~ ΔABC по I признак, защото: 1) C – общ; 2) MNC = BAC (като съответни ъгли на MN || AB) .
- Тогава CN = 3x, AC = 5x.
- Но NA = AC – CN = 5x – 3x = 2x.
- , т.е. CN : NA = 3 : 2.
- Верен отговор Г).

Критерии за оценяване

Ако x₁ и x₂ са реалните корени на уравнението 3x² – 14x + 6 = 0, то сумата от реципрочните им стойности е равна на:
- А)–
- Б)–
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От формулите на Виет намираме:
  x₁ + x₂ = –, x₁ . x₂ = .
- Намираме търсената стойност:
- Верен отговор Г).

Ако n е естествено число, то първите четири члена на числова редица с общ член a_n = са:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Заместете с n = 1, 2, 3 и 4 в дадения общ член на числовата редица.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Намерете първия член на аритметична прогресия, ако a₄ = 1 и a₇ = –11.
- А)–11
- Б)–4
- В)13
- Г)17
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теоремата за общият член на аритметична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме теорема 1 от аритметична прогресия:
  a₄ = a₁ + 3d; a₇ = a₁ + 6d.
- Решаваме системата:
- Верен отговор В).

Ако за AOB е дадено, че върхът му е точката O на чертежа, лъчът OA^→ съвпада с положителната посока на оста Ox и tg AOB = , то лъчът OB^→ лежи:
- А)само в I квадрант
- Б)в I или в III квадрант
- В)във II или в IV квадрант
- Г)само в III квадрант
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Таблица №1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Таблица № 1 намираме, че:
  tg AOB = AOB = 60° или 240°.
- Тези ъгли са в I и III квадрант.
- Верен отговор Б).

В купа има 5 сини и 12 бели жетона. Каква е вероятността при едновременно изтегляне на два жетона точно един от тях да е бял?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете броя на комбинациите за изваждането на два жетона от общо 17 (това са възможните случаи n).
2. Намерете броя на комбинациите за изваждането на 1 бял жетон от общо 12 и 1 син жетон от общо 5 (това са благоприятните случаи m).
3. Използвайте формула (7), за да намерите вероятността.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме броя на възможните случаи n:
  - Всички жетони в купата са 5 + 12 = 17.
  - Изтегляме 2 жетона.
  - Редът на изтеглените жетони няма значение, затова намираме броя на комбинациите на 17 елемента от 2 клас, т.е. n = C₁₇².
- Намираме броя на благоприятните случаи m:
  - Изтегляме 1 бял жетон от общо 12. Възможните комбинации на 12 елемента от първи клас са C₁₂¹.
  - От изтеглени 2 жетона, ако единият е бял, то другият е син. Възможните комбинации на 5 елемента от първи клас са C₅¹.
  - Тогава благоприятните случаи са m = C₅¹.C₁₂¹.
- От формула (7) намираме вероятността:
  .
- Верен отговор Г).

В школа по танци участват 6 души на възраст 15 г., 9 г., 36 г., 17 г., 28 г. и 21 г. На каква възраст е новодошъл участник в школата, ако медианата на статистическия ред от първоначалните 6 данни съвпада с медианата на статистическия ред от новополучените 7 данни за възрастта на участниците в школата?
- А)18
- Б)19
- В)20
- Г)26,5
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете медианата на статистически ред с четен брой данни.
2. Намерете медианата на статистически ред с нечетен брой данни.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Подреждаме дадените числа по възходящ ред: 9, 15, 17, 21, 28, 36.
- Данните са четен брой. Медианата на четен брой данни е равна на средноаритметичното на двата централни члена в редицата, т.е. (17 + 21) / 2 = 19.
- Това число трябва да се добави във втория ред, за да се изпълни условието.
- Верен отговор Б).

Около ΔABC е описана окръжност k (O; R). Ако AOC = 120° и CAB = α, страната AB е равна на:
- А)2Rsin α
- Б)2Rsin (120° – α)
- В)2Rsin (120° + α)
- Г)2Rsin (60° + α)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ABC.
2. От теорема за сбор на ъгли в ΔABC изразете ACB чрез α.
3. Използвайте синусова теорема за ΔABC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABC – вписан и AOC – централен ABC = AOC = .120° = 60°.
- Прилагаме теорема за сбор на ъгли за ΔABC:
  BAC + ABC + ACB = 180° α + 60° + ACB = 180° ACB = γ = 120° – α.
- Използваме синусова теорема за ΔABC:
  = 2R AB = 2R.sin (120° – α).
- Верен отговор Б).

За ΔABC на чертежа е дадено, че BC = 3 cm, AC = 4 cm и cos (α + β) = . Дължината на страната АВ е равна на:
- А) cm
- Б)5 cm
- В) cm
- Г)6 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте косинусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Таблица №2 получаваме:
  cos ACB = cos [180° – (α + β)] = – cos (α + β) = –.
- Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:
  AB² = 4² + 3² – 2.3.4. = 33 AB = cm.
- Верен отговор В).

Даден е трапец с основи 12 cm и 9 cm и диагонали 11 cm и 18 cm. Лицето на трапеца е равно на:
- А)35 cm²
- Б)70 cm²
- В)100 cm²
- Г)55,5 cm²
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте основно построение от Зад. 2.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

В успоредника ABCD AC = 10 cm, BD = 6 cm и ADB = 90°. Намерете лицето на успоредника.
- А)12 cm²
- Б)18 cm²
- В)24 cm²
- Г)36 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Ако т. О е пресечната точка на диагоналите от питагорова теорема за ΔAOD намерете AD.
2. Използвайте формула (8), за да намерите лицето на ABCD.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – успоредник и AC, BD – диагонали AO = 5 cm, DO = 3 cm.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔAOD:
  AD² + DO² = AO² AD² + 3² = 5² AD² = 25 – 9 = 16 AD = 4 cm.
- Прилагаме тригонометрична функция синус за ΔAOD:
  sin φ = .
- Използваме формула (8):
  S_ABCD = .AC.BD.sin φ = .10.6. = 24 cm².
- Верен отговор В).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Намерете корените на уравнението .

Вижте упътване

Упътване:

Решете ирационалното уравнение.

Вижте решение

Решение:

Като използвате квадратната мрежа, намерете стойността на cos α.

Вижте упътване

Упътване:

Намерете съседния на ъгъл α.

Вижте решение
Решение:
- От чертежа намираме CD = 3, AD = 2.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔDAC:
  AC² = AD² + CD² = 2² + 3² = 13 AC = .
- Прилагаме тригонометрична функция косинус за ΔDAC:
  cos α₁ = .
- Използваме теорема за съседни ъгли и Таблица №2:
  cos α = cos (180° – α₁) = – cos α₁ = –.
- Отговор: cos α = –.

В банка са вложени 5000 лв. при сложна годишна лихва. Намерете лихвения процент, ако след две години сумата е нараснала с 408 лв.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте формула (2).

Вижте решение
Решение:
- Намираме крайната сума:
  K_n = 5000 + 408 = 5408.
- Използваме формула (2) като K₀ = 5000, n = 2, p% = x:
  K_n = K₀(1 + p%)ⁿ 5408 = 5000(1 + x)².
- Преобразуваме този израз:
- p% = x p = 4.
- Отговор: 4%.

На чертежа четириъгълникът ABCD е описан около окръжност с радиус 2 и AD + BC = 9. Изразете чрез числото π лицето на фигурата, получена от четириъгълника след „изрязване” на вписания в него кръг.

Вижте упътване
Упътване:
1. Намерете S_кръг.
2. Намерете S_ABCD.
3. Лицето на защрихованата фигура е разлика от тези две лица.
Вижте решение
Решение:
- Намираме лицето на кръга:
  S_кръг = π.r² = π.2² = 4π.
- Намираме лицето на четириъгълника:
  - ABCD – описан AB + CD = AD + BC = 9.
  - p_ABCD = = 9.
  - Използваме формула (4):
    S_ABCD = p.r = 9.2 = 18.
- Намираме лицето на защрихованата фигура:
  S_фиг. = S_ABCD – S_кръг = 18 – 4π.
- Отговор: S_фиг. = 18 – 4π.

Точките M и N лежат съответно на страните AC и BC на ΔABC, AM = 2CM, CN = 2BN и S_ΔMNC = 14 cm². Намерете лицето на ΔABC.

Вижте упътване
Упътване:
1. Докажете, че ΔNHC ~ ΔBDC и намерете лицата им.
2. Разделете тези лица.
Вижте решение

Решение:

Условията на задачи от 26. до 28. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2014 г. 2016 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура