Софийски университет - Математика, Юни 2026 г

СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2026 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 10. включително отбележете в листа с отговори!

Броят на всички точки (x; y) в равнината, чиито компоненти x и y удовлетворяват уравнението x⁴ + y² – 2x² + 6y + 10 = 0, е:
- А)безброй много
- Б)4
- В)0
- Г)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Допълнете до точен квадрат, за да използвате подходящи формули за съкратено умножение.
2. От полученото уравнение запишете система от две уравнения с едно неизвестно.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Допълваме до точен квадрат и използваме формули за съкратено умножение (2) и (1):
  (x⁴ – 2x² + 1 – 1) + (y² + 6y + 9 – 9) + 10 = 0 (x² – 1)² – 1 + (y + 3)² – 9 + 10 = 0 (x² – 1)² + (y + 3)² – 10 + 10 = 0 (x² – 1)² + (y + 3)² = 0.
- В лявата страна на уравнението имаме сбор от неотрицателни числа.
- Уравнението е изпълнено, ако имаме системата:
  (x⁴ – 1)² + (y + 3)² = 0 .
- Решенията са двете наредени двойки:
  (1; – 3), (– 1; – 3).
- Верен отговор Г).

В ΔABC отсечките AN и CM са медиани. Те сключват със страната AC съответно ъгли α и β, като α + β = 45°. Произведението от дължините на двете медиани е . Лицето на ΔABC е равно на:
- А)2
- Б)8
- В)4
- Г)6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Нека т. G е медицентър на ΔABC и от даденото намерете AGC.
2. За медианите AN и CM използвайте подходящо следствие на медицентър и намерете произведението AG.CG.
3. От подходяща формула за лице намерете лицето на ΔAGC.
4. От подходяща Основна Задача на медиани намерете лицето на ΔAMG и ΔABC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAGC:
  AGC = 180° – (α + β) = 180° – 45° = 135°.
- Намираме произведението AG.CG:
  - Използваме Следствие на медицентър за медианата CM:
    CG = CM.
  - Същото следствие използваме и за медианата AN:
    AG = AN.
  - Използваме условието и получаваме:
- Използваме формула (2) и Таблица 1 за ΔAGC:
  S_ΔAGC = AG.CG sin 135° = = 2.
- Намираме лицето на ΔAMG:
  - Т. G – медицентър и от Теорема за медицентър записваме: CG = 2x, GM = x.
  - Построяваме AD CM, тогава AD е височина в ΔAMG и в ΔCGA. Използваме формула (1) за тези два триъгълника:
- S_ΔAMC = S_ΔAMG + S_ΔAGC = 1 + 2 = 3.
- СМ – медиана в ΔABC и от Основна Задача 3 а) записваме:
  S_ΔABC = 2S_ΔAMC = 2.3 = 6.
- Верен отговор Г).

Сумата от корените на уравнението log_{x – 1} (x² – 5x – 5)² = 2 е:
- А)5 +
- Б)10 +
- В)5 +
- Г)10
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете логаритмичното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме Дефиниционното Множество (ДМ) на логаритмична функция:
- Използваме формула (6.1), преобразуваме и прилагаме формула (16), за да решим полученото логаритмично уравнение:
  log_{x – 1} (x² – 5x – 5)² = 2 2 log_{x – 1} |x² – 5x – 5| = 2 log_{x – 1} |x² – 5x – 5| = 1 |x² – 5x – 5| = (x – 1)¹ |x² – 5x – 5| = x – 1.
- Това модулно уравнение се разпада на две уравнения , защото вече сме намерили ДМ_x:
  1. x² – 5x – 5 = x – 1 x² – 6x – 4 = 0 x₁ = 3 – ∉ ДМ, x₂ = 3 + ДМ.
  2. x² – 5x – 5 = – (x – 1) x² – 4x – 6 = 0 x₃ = 2 – ∉ ДМ, x₄ = 2 + ДМ.
- Намираме отговора:
  x₂ + x₄ = 3 + + 2 + = 5 + .
- Верен отговор В).

Правоъгълен триъгълник има радиус на описаната окръжност R = 6,5 и радиус на вписаната окръжност r = 2. Ъглополовящата на правия ъгъл на триъгълника има дължина:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте подходяща формула и намерете хипотенузата на дадения триъгълник.
2. От формула (9) и теоремата на Питагор намерете катетите на дадения триъгълник.
3. Използвайте подходяща формула за ъглополовяща и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- В ΔABC (ACB = 90°) отбелязваме:
  - Катети: BC = a, AC = b.
  - Хипотенуза: AB = c.
  - CL – ъглополовяща към хипотенузата.
- Използваме формула (8):
  c = 2R = 2.6,5 = 13.
- Използваме формула (9):
  r = a + b = 17 a = 17 – b.
- Използваме теоремата на Питагор и решаваме полученото квадратно уравнение:
  a² + b² = c² (17 – b)² + b² = 13² b² – 17b + 13 = 0, b₁ = 5, b₂ = 12.
- От a = 17 – b получаваме другия катет:
  - При b₁ = 5 имаме: a₁ = 17 – b₁ = 17 – 5 = 12.
  - При b₂ = 12 имаме: a₂ = 17 – b₂ = 17 – 12 = 5.
- Получихме два триъгълника със страни: a = 5, b = 12, c = 13 и a = 12, b = 5, c = 13. Ще намерим отговора за правоъгълен триъгълник със страни a = 5, b = 12, c = 13:
  - За ъглополовящата CL използваме формула (5):
    AL = 12x, BL = 5x.
  - AL + BL = AB 12x + 5x = 13 x = .
  - Тогава:
    AL = .
  - За ъглополовящата CL използваме формула (6):
- Верен отговор Б).

Броят решения на уравнението = 0 в интервала [0; 2π) е:
- А)4
- Б)5
- В)6
- Г)7
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Преобразувайте уравнението до показателно с основа 3 и използвайте формула (12), за да го решите.
2. Използвайте Таблица 1, за да решите полученото в стъпка 1 тригонометрично уравнение.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме израза като последователно извършваме действията: привеждаме под общ знаменател, използваме формули (4) и (6), за да получим показателно уравнение в основен вид:
- Използваме Таблица 1 и решаваме основното тригонометрично уравнение:
  tg 3x = 1 → α = + kπ .
- Даваме стойности на k и разписваме решенията:
- Верен отговор В).

Всички ръбове на триъгълна пирамида имат дължина . Радиусът на вписаната в пирамидата сфера е равен на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Дадената пирамида е правилен тетраедър и от видове тетраедри използвайте Твърдение (17).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:

I начин:
- СР – височина в равнострания ΔABC и прилагаме формула (6):
  CP = .
- Т. О – медицентър на ΔABC и от Свойство записваме:
  OP = CP = 1.
- Прилагаме теоремата на Питагор за:
  - ΔCOM (O = 90°):
    MO² + CO² = CM² MO² + 1² = MO² = 2 MO = .
  - ΔPOM (O = 90°):
    MP² = OP² + MO² = MP = .
- Т. Н – център на вписаната сфера, тогава: ОН = r – радиус на сферата, MH = MO – r = – r, PH – ъглополовяща на OPM и прилагаме формула (5):
- Верен отговор А).
II начин:
- По условие имаме правилен тетраедър и от видове тетраедри използваме формула (17):
  r = .
- Верен отговор А).

Сумата на първите три члена на намаляваща геометрична прогресия от неотрицателни числа е 62, а сумата на десетичните им логаритми е 3. Петият член на редицата е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща теорема на геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека частното на дадената геометрична прогресия е q и понеже прогресията е намаляваща с неотрицателни членове, то q (0; 1).
- Използваме Теорема 1 на геометрична прогресия и получаваме трите ѝ члена:
  - a₁ – първи член.
  - a₂ = a₁q – втори член.
  - a₃ = a₁q² – трети член.
- По условие имаме:
  a₁ + a₂ + a₃ = 62 (A): a₁ + a₁q + a₁q² = 62.
- Използваме условието, формула (13), формула (6) и получаваме:
  lg a₁ + lg (a₁q) + lg (a₁q²) = 3 lg (a₁.a₁q.a₁q²) = 3 lg (a₁q)³ = 3 3lg (a₁q) = 3 lg (a₁q) = 1.
- Това логаритмично уравнение е в основен вид и прилагаме формула (16):
  lg (a₁q) = 1 (B): a₁q = 10¹ = 10.
- Делим уравнение (B) на уравнение (A) и решаваме полученото квадратно уравнение:
  31q = 5(1 + q + q²) 5q² – 26q + 5 = 0 q₁ = 5 ∉ (0; 1), q₂ = (0; 1).
- При q = от (В) намираме първия член:
  a₁ . = 10 a₁ = 50.
- Използваме Теорема 1 на геометрична прогресия и намираме отговора:
  a₅ = a₁q⁴ = 50..
- Верен отговор Г).

Основният ръб на правилната четириъгълна призма ABCDA₁B₁C₁D₁ е равен на , а околният ѝ ръб е равен на . Синусът на ъгъла между правата D₁C и равнината (ABC₁D₁) е равен на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящи правоъгълни триъгълници намерете BC₁ и CD₁.
2. Разгледайте четириъгълна пирамида с основа ABC₁D₁ и връх С. Постройте височината на тази пирамида (тя се явява височина в правоъгълния ΔBC₁C (BCC₁ = 90°)).
3. Търсеният ъгъл го отбележете с φ и го постройте в пирамидата ABC₁D₁C.
4. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете sin φ.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме теоремата на Питагор (Фиг. А) за:
  - ΔBCC₁ (BCC₁ = 90°):
    BC₁² = BC² + CC₁² = = 36 BC₁ = 6.
  - ΔCC₁D₁ (CC₁D₁ = 90°):
    CD₁² = CC₁² + C₁D₁² = = 36 CD₁ = 6.
- Доказваме, че ABC₁D₁ – правоъгълник:
  - AD₁ = BC₁ и AD₁ || BC₁ – като диагонали на две успоредни околни стени, т.е. ABC₁D₁ – успоредник.
  - ВС е проекция на ВС₁ в равнината на основата ABCD, но BC AB, защото ABCD – квадрат и от Теоремата за трите перпендикуляра следва, че BC₁ AB.
  - От Определението за правоъгълник следва, че ABC₁D₁ – правоъгълник.
  - Т.е. ABC₁ = BC₁D₁ = C₁D₁A = D₁AB = 90°.
- Разглеждаме четириъгълна пирамида с основа ABC₁D₁ и връх т. С (Фиг В). Построяваме височината на тази пирамида:
  - Построяваме CP BC₁. По-нагоре доказахме, че BC₁ C₁D₁, т.е. CP C₁D₁.
  - Но BC₁ и C₁D₁ са пресичащи се прави и лежат в равнината (ABC₁D₁).
  - Тогава от перпендикулярност на права и равнина (Твърдение 9) следва, че CP (ABC₁D₁).
  - Това означава, че СР е височина на пирамидата ABC₁D₁С или CPD₁ = 90°.
- D₁P е проекция на CD₁ в равнината (ABC₁D₁) и от ъгъл между права и равнина (Твърдение 36) следва, че (CD₁; ABC₁D₁) = PD₁C = φ.
- Намираме отговора:
  - Използваме Формула (7) за правоъгълния ΔBCC₁ (BCC₁ = 90°):
    CP.BC₁ = BC.CC₁ CP . 6 = .
  - Използваме Формула (10) за правоъгълния ΔCPD₁ (CPD₁ = 90°):
    .
- Верен отговор А).

Даден е правилен петнадесетоъгълник. Вероятността три случайно избрани негови върха да са върхове на равнобедрен триъгълник е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Задачата е с посочен грешен отговор и се признава за всички кандидати като вярно решена.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Задачата е с посочен грешен отговор и се признава за всички кандидати като вярно решена.

Спрямо правоъгълна координатна система K = Oxy в равнината са дадени точките A (1; – 2), B(7; 0), и C (2; 1). Ако правите m и h съдържат съответно медианата и височината през върха C на ΔABC, то острият ъгъл между тях има косинус, равен на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изберете права, зададена чрез две точки, от начините за задаване на права с декартово уравнение (Формула 12) и намерете общото уравнение на страната АВ.
2. Намерете общите уравнения на височината и медианата към страната АВ.
3. Използвайте Формула (19), за да намерите ъгъла между две прави, зададени с общите си уравнения.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От дадените координати записваме:
  - A (1; – 2) x_A = 1, y_A = – 2.
  - B(7; 0) x_B = 7, y_B = 0.
  - C (2; 1) x_C = 2, y_C = 1.
- Намираме декартовото уравнение на правата c = AB – От начини на задаване на права с декартово уравнение избираме права, зададена с две точки (Формула 12):
  c = AB: y – y_A = (x – x_A) y + 2 = (x – 1) y + 2 = (x – 1) c = AB: y = .
- Използваме декартово уравнение на права (Формула 9) и определяме, че ъгловият коефициент на правата c е k_c = .
- Намираме общото уравнение на правата (височината към страната c) h:
  - h c и от взаимно положение на прави, които са зададени с декартови уравнения (формула 25) определяме ъгловия коефициент k_h:
    k_h k_c = – 1 k_h . = – 1 k_h = – 3.
  - Уравнението на височината е:
    y = k_hx + b h: y = – 3x + b.
  - Т. С лежи върху височината h и от точка лежаща на права (Свойство 2) намираме:
    1 = – 3.2 + b b = 7.
  - Декартовото уравнение на височината е:
    h: y = – 3x + 7.
  - От него получаваме общото уравнение:
    y = – 3x + 7 h: 3x + y – 7 = 0.
  - Определяме коефициентите:
    A_h = 3, B_h = 1, C_h = – 7.
- Намираме общото уравнение на правата (медианата към страната c) m:
  - Намираме координатите на т. М, която е среда на отсечката c = AB (формула 24):
  - Точките М и С лежат на правата m и отново използваме права, зададена с декартовото си уравнение през две точки (Формула 12):
    m = CM: y – y_C = y – 1 = y – 1 = – (x – 2) m = CM: x + y – 3 = 0, т.е. A_m = 1, B_m = 1, C_m = – 3.
- Нека φ – ъгъл между правите h и m. Тези две прави са зададени с общите си уравнения и използваме Формула (19):
- Верен отговор В).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 11. до 12. включително запишете в листа с отговори!

Да се реши неравенството x + log₂₀₂₆ (2^x – 1) < xlog₂₀₂₆ 1013 + log₂₀₂₆ 12.

Вижте упътване
Упътване:
1. Преобразувайте логаритмично неравенство до основен вид и го решете с подходяща формула.
2. Решете полученото в стъпка 1 показателно неравенство.
Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ на логаритмична функция:
  2^x – 1 > 0 2^x > 1 2^x > 2⁰ ДМ: x > 0.
- Последователно използваме Формули (9), (6), (13) и преобразуваме:
  x + log₂₀₂₆ (2^x – 1) < xlog₂₀₂₆ 1013 + log₂₀₂₆ 12 log₂₀₂₆ 2026^x + log₂₀₂₆ (2^x – 1) < log₂₀₂₆ 1013^x + log₂₀₂₆ 12 log₂₀₂₆ [2026^x (2^x – 1)] < log₂₀₂₆ (12.1013^x).
- Използваме Формула (18), за да решим логаритмичното неравенство, а в полученото показателно неравенство използваме Формула (6) и преобразуваме, като отчетем, че 1013^x > 0 за всяко x:
  log₂₀₂₆ [2026^x (2^x – 1)] < log₂₀₂₆ (12.1013^x) 2026^x (2^x – 1) < 12.1013^x (1013.2)^x (2^x – 1) < 12.1013^x 1013^x.2^x (2^x – 1) < 12.1013^x | : 1013^x 2^x (2^x – 1) < 12 2^2x – 2^x – 12 < 0.
- Полагаме 2^x = y > 0 и решаваме полученото квадратно неравенство:
  y² – y – 12 < 0:
  - D = 1 + 48 = 49 = 7.
  - y₁ = 4, y₂ = – 3.
  - Решенията на неравенството са:
    y (– 3; 4).
  - Засичаме с ДМ_y и получаваме: y (0; 4).
- От полагането получаваме:
  y < 4 2^x < 4 2^x < 2² x < 2.
- Засичаме с ДМ_x и получаваме отговора:
  x (0; 2).
- Отговор: x (0; 2).

Квадрат ABCD има страна AB = 7. Външно за него е построен квадрат BEFG със страна b < 7, като E AB^→, G BC^→. Намерете лицето на триъгълник AFC.

Вижте упътване
Упътване:
1. Изберете правоъгълна координатна система, така че началото ѝ да съвпада с точка В и разпишете координатите на върховете на двата квадрата (трябва да съобразим, че точката Е лежи на абсцисната ос, като т. В е между А и Е, а точка F се намира в I квадрант.
2. Използвайте Формула (27) и намерете лицето на триъгълника.
Вижте решение
Решение:

I начин:
- Построяваме правоъгълна координатна система с начало в точка В, т.е. координатите на т. В са В (0; 0).
- Координатите на върховете на квадрата ABCD са:
  - A (– 7; 0) x_A = – 7, y_A = 0.
  - B (0; 0) x_B = 0, y_B = 0.
  - C (0; 7) x_C = 0, y_C = 7.
  - D (– 7; 7) x_D = – 7, y_D = 7.
- Координатите на върховете на квадрата BEFG са:
  - B (0; 0) x_B = 0, y_B = 0.
  - От условието (E AB^→) следва, че т. Е лежи на продължението на АВ, т.е. т. Е лежи на оста x, а т. В е между т. А и т. Е, тогава: E (b; 0) x_E = b, y_E = 0.
  - От условието (G BC^→, b < 7) следва, че т. G лежи на оста y и е между т. B и т. C, т.е. G (0; b) x_G = 0, y_G = b.
  - Точка F трябва да е в I квадрант, защото тогава BG = EF и BG || EF. Ако т. F е в IV квадрант, то т. G трябва да лежи на продължението на BC^→, което противоречи на условието. Тогава F (b; b) x_F = b, y_F = b.
- Използваме формула за лице на триъгълник (Формула 27):
  S_ΔAFC = |x_A (y_F – y_C) + x_F (y_C – y_A) + x_C (y_A – y_F)| = |– 7(b – 7) + b (7 – 0) + 0 (0 – b)| = |– 7b + 49 + 7b – 0 + 0| = = 24,5.
II начин: Използваме по-горе получените координати на върховете на двата квадрата.
- Прилагаме теоремата на Питагор за правоъгълния ΔABC (B = 90°) и намираме диагонала АС на квадрата ABCD:
  AC² = AB² + BC² = 2.7² AC = 7.
- Намираме отговора:
  - Намираме общото уравнение на правата АС:
    AC: y – y_A = y – 0 = y = 1 (x + 7) AC: x – y + 7 = 0, т.е. k_AC = 1, A_AC = 1, B_AC = – 1, C_AC = 7.
  - Правата h (височината на ΔAFC) е перпендикулярна на AC и минава през т. F (b; b), и използваме разстояние на точка (т. F) до правата AC (Формула 26):
    Бележка:
    Виждаме, че дължината на височината (разстоянието от т. F до страната АС) НЕ зависи от променливата b, защото в горните сметки имаме |b – b + 7|. Това означава, че при промяна на числото b, височината на ΔAFC не се променя (лицето също не се променя). Това се обяснява с факта, че т. F (b; b) се движи по права, успоредна на основата АС.
  - Използваме формула (1) и намираме лицето на ΔAFC:
    S_ΔAFC =
- Търсеното лице е равно на 24,5.

Условията на задачи от 13. до 16. включително може да намерите тук, а указание за решаването им – тук.

Върни се нагоре Други тестове 2025 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура