Софийски университет - Математика, Юни 2016 г

СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2016 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Нека и c = 20% от 2. Посочете вярното твърдение:
- А)c < a < b
- Б)b < c < a
- В)c < b < a
- Г)a < b < c
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За числата a и b използваме формули (6) и (8):
- Верен отговор А).

Ако a = и b = , то стойността на израза е равна на:
- А)5 –
- Б)3 – 2
- В)3 – 2
- Г) – 5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формули за съкратено умножение (6) и (7).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме израза, за да използваме формули за съкратено умножение (6) и (7):
- Заместваме с дадените стойности на а и b:
  a – 5b = – 5.
- Верен отговор Г).

Допустимите стойности на израза са:
- А)x (– ∞; – ) (; + ∞)
- Б)x ∅
- В)x (; + ∞)
- Г)x = ±
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на дробна (рационална) функция и на ирационална функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използвайте Свойство 1 на ирационална функция и ДМ на дробна функция:
  x² – 2 > 0 (x – )(x + ) > 0 x (– ∞; – ) (; + ∞).
- Верен отговор А).

Решенията на неравенството са:
- А)x (– ∞; – 2) (– 2; 1]
- Б)x (– ∞; – 1]
- В)x (– 1; 2) (2; + ∞)
- Г)x (– 1; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете дробното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:

Неравенството е в основен вид и го решаваме по метода на интервалите:
- Нулираме числител:
  8 – x³ = 0 (2 – x)(4 + 2x + x²) = 0 x = 2.
- Нулираме знаменател:
  x² – x – 2 = 0 x₁ = – 1, x₂ = 2.
- Имаме частен случай и той е при x = 2, защото този корен се повтаря.
- Нанасяме тези числа върху числовата ос, като числото 2 не се включва в подинтервалите. Знакът на най-десния подинтервал е минус, защото има един минус пред най-високите степени на неизвестното:
- Определяме решенията:
  x (– 1; 2) (2; + ∞).
- Верен отговор В).

Ако a = lg 3 и b = lg 5, то log₃ 5 е равен на:
- А)
- Б)b – a
- В)
- Г)a – b
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (4), за да направите основа 10 на търсения логаритъм.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (4):
  log₃ 5 = .
- Верен отговор А).

Решенията на системата са:
- А)(– 4; – 3)
- Б)(3; 4); (4; 3)
- В)(– 3; – 4); (– 4; – 3)
- Г)(4; 3)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез заместване, защото едното уравнение в системата е от първа степен, а другото е от по-висока степен.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез заместване:
  (7 – y)² – y² = 7 14y = 42 y = 3. Тогава x = 7 – y x = 7 – 3 = 4.
- Решението е (4; 3).
- Верен отговор Г).

Ако α и β са корени на уравнението x² + 5x – 3 = 0, то числата и са корени на уравнението:
- А)3t² + 5t – 1 = 0
- Б)3t² – 5t – 1 = 0
- В)t² + 5t – 3 = 0
- Г)t² – 5t – 3 = 0
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Формулите на Виет за даденото уравнение:
  α + β = – 5, α.β = – 3.
- Намираме:
  - .
  - .
- Чрез Формулите на Виет проверяваме за кой от отговорите са в сила тези числа:
  - За отговор А) имаме , т.е. отговор А) НЕ Е търсеното решение.
  - За отговор Б) имаме , т.е. отговор Б) Е търсеното решение.
- Верен отговор Б).

Ако α = , стойността на израза е равна на:
- А)–
- Б)1
- В)– 1
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изнесете минус 1 и използвайте Тригонометрична формула (4.5).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Изнасяме (– 1) от знаменател и прилагаме (Тр.Ф. 4.5): .
- Заместваме с дадената стойност на α:
  – tg 3α = – tg 3. = – tg = – 1.
- Верен отговор В).

Върху страните AB и AC на ΔABC, с лице S_ΔABC = 36, са избрани съответно точките M и N, така че AM : MB = 1 : 2 и MN || BC. Лицето на ΔAMN е равно на:
- А)9
- Б)4
- В)12
- Г)18
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящо Свойство на подобни триъгълници.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От AM : MB = 1 : 2 AM = x, MB = 2x. Тогава AB = AM + MB = x + 2x = 3x.
- ΔAMN ~ ΔABC – по I признак, защото: 1) AMN = ABC – като съответни ъгли на успоредни прави; 2) A – общ прилагаме формула (4):
- Верен отговор Б).

Даден е ΔABC, за който AC = 5, ACB = 90°, BAC = 60° и CH е височина. Дължината на отсечката BH е равна на:
- А)5
- Б)2, 5
- В)
- Г)7, 5
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината СН и отсечката AH.
2. Използвайте формула (6).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- За ΔAНC прилагаме тригонометрична функция синус и косинус:
  - sin 60° = CH = .
  - cos 60° = .
- Прилагаме Формула (6):
  CH² = AH . BH BH = = 7,5.
- Верен отговор Г).

Критерии за оценяване

Графиката на квадратната функция y = f (x) пресича координатните оси в точките A (– 2; 0), B (3; 0) и C = (0; 4), а графиката на линейната функция y = g (x) пресича графиката на функцията y = f (x) в точки A (– 2; 0) и D (4; – 4). Кое твърдение е вярно:
- А)Най-голямата стойност на квадратната функция y = f (x) е по-голяма от 4.
- Б)Линейната функция y = g (x) е растяща в интервала (– ∞; + ∞).
- В)Решенията на неравенството f (x) < g (x) са x (– 2; 4).
- Г)Решенията на уравнението f (x) = g (x) са x = – 2, x = 3.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Свойство 3 на квадратната функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От графиката се вижда, че върхът на параболата е по-високо от y координатата на т. С.
- От Свойство 3 следва, че най-голямата стойност на квадратната функция y = f (x) е по-голяма от 4.
- Верен отговор А).
Бележка:
Излишно е да го правим, но може да проверим останалите отговори.

От графиката се вижда, че:
- Линейната функция y = g (x) е намаляваща в интервала (– ∞; + ∞), т.е. отговор Б) не е верен.
- Решенията на неравенството f (x) < g (x) са x принадлежи на (– ∞; – 2) и (4; + ∞), т.е. отговор В) не е верен.
- Решенията на уравнението f (x) = g (x) са x₁ = – 2, x₂ = 4, т.е. отговор Г) не е верен.

С коя от формулите се задава числова редица a_n, n , всички членове на която са естествените числа?
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че естествените числа са всички цели положителни числа.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Естествените числа са всички цели положителни числа.
- След заместване на n = 1, 2, и т.н., само в отговор Г) се получават естествени числа.
- Верен отговор Г).

Дадена е аритметична прогресия a₁, a₂, …, a_n, за които a₁ = 1, a₃ = 13 и S_n = 280. Броят n на членовете на прогресията и последният ѝ член a_n са:
- А)n = 10, a₁₀ = 56
- Б)n = 10, a₁₀ = 55
- В)n = 11, a₁₁ = 55
- Г)n = 11, a₁₁ = 56
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете разликата d на аритметичната прогресия, като използвате Теорема 1.
2. Използвайте Теорема 2, за да намерите n.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Теорема 1 от аритметична прогресия:
  a₃ = a₁ + 2d 13 = 1 + 2d d = 6.
- Прилагаме Теорема 2:
- Тогава a₁₀ = a₁ + 9d = 1 + 9.6 = 55.
- Верен отговор Б).

Ако tg , то sin x и cos x са:
- А)sin x = , cos x =
- Б)sin x = , cos x =
- В)sin x = , cos x =
- Г)sin x = , cos x =
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Тригонометрични формули (2.8) и (2.11).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Тр.Ф. (2.8) намираме:
  sin x = .
- От Тр.Ф. (2.11) намираме:
  cos x = .
- Верен отговор В).
Бележка:
В някои справочници тези две формули ги няма, но се изучават в училище. Намирането на sin x и cos x може да се извърши със „стандартни” формули:
1. От Тр.Ф. (5.3) намираме tg x.
2. От Тр.Ф. (1.1) и (1.3) намираме sin x и cos x.

Дадени са 48 еднакви карти с формата на квадрат. Броят на различните фигури с формата на правоъгълник, които могат да се съставят от всички карти е:
- А)6
- Б)5
- В)4
- Г)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете по колко начина числото 48 може да се разложи на целочислени положителни множители, т.е. множителите да са естествени числа.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Правоъгълникът има две различни страни. Нека да ги отбележим с a и b.
- Намираме броя на множителите, които са естествени числа, на които може да се разложи числото 48, т.е. търсим наредените двойки от разлагането 48 = a.b:
  - 48 = 1.48.
  - 48 = 2.24.
  - 48 = 3.16.
  - 48 = 4.12.
  - 48 = 6.8.
- Общият брой е 5.
- Верен отговор Б).

Даден е статистическият ред 1; 2; 2; 3; 4; 4; 4; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 8; 8; 9. Кое от твърденията НЕ е вярно?
- А)Медианата и средното аритметично на реда са равни.
- Б)Ако прибавим нов елемент 4 към реда, то модата на новия ред ще бъде по-малка от медианата му.
- В)Ако премахнем един елемент 4 към реда, то модата на новия ред ще бъде по-малка от медианата му.
- Г)Ако прибавим нов елемент 4 към реда, то медианата на новия ред ще бъде равна на 4,5.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определенията за: средно аритметично, медиана и мода.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Използваме определенията за: средно аритметично, медиана и мода и стигаме до извода, че отговор В) е верен.

Даден е ΔABC, за който BC = 7, ACB = 105°, BAC = 45°.
- А)R = 7, AC =
- Б)R = 7, AC = 7
- В)R = , AC = 7
- Г)R = , AC =
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Синусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Теорема за сбор на ъгли в ΔABC:
  ABC + BAC + ACB = 180° ABC + 45° + 105° = 180° ABC = 30°.
- Използваме Синусова теорема за ΔABC:
- Отново от Синусова теорема намираме:
  .
- Верен отговор Г).

Даден е ΔABC, за който AB = 2,5; BC = 3,5; BAC = 120°. Полупериметърът p на ΔABC е равен на:
- А)p = 7,5
- Б)p = 8
- В)p = 3,75
- Г)p = 4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Косинусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Косинусова теорема намираме:
  BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos BAC 3,5² = 2,5² + b² – 2.2,5.b. b² + 2,5b – 6 = 0, b₁ = – 4 < 0 ∉ ДМ_b, b₂ = 1,5.
- p = = 3, 75.
- Верен отговор В).

Даден е трапец ABCD, за който AB = 13, AD = 5, BD = 12 и S_ABCD = 45. Дължината на основата CD, височината h и S_ΔCDB са съответно равни на:
- А)CD = 6,5; h = 4,62; S_ΔCDB = 25
- Б)CD = ; h = ; S_ΔCDB = 15
- В)CD = ; h = ; S_ΔCDB = 15
- Г)CD = 4,62; h = 6,5; S_ΔCDB = 25
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете S_ΔABD по Хероновата формула.
2. От Формула (1) намерете височината h.
3. От Формула (19) намерете основата CD.
4. Използвайте равенството S_ΔCDB = S_ABCD – S_ΔABD, за да намерите S_ΔCDB.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- За ΔABD използваме Хероновата формула:
  - .
  - S_ΔABD = = 30.
- Използваме Формула (1):
  S_ΔABD = h = .
- Може да не търсим останалите величини, защото в дадените отговори няма друг с тази стойност на h.
- Верен отговор Б).
Бележка:
Намирането на останалите елементи, може да продължи по следната схема:
1. От Формула (19) намираме основата CD на трапеца.
2. Използваме равенството S_ΔCDB = S_ABCD – S_ΔABD, за да намерим S_ΔCDB.

Даден е четириъгълник АВCD, за който AC разполовява BAD, AD = 4, CAD = 30°, ACB = 75° и BO = DO, където О е пресечната точка на диагоналите AC и BD. Лицето на четириъгълника е равно на:
- А)8
- Б)16
- В)8
- Г)16
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От ΔABD намерете ABD и BD.
2. Докажете, че ΔABC е равнобедрен и намерете AC.
3. Използвайте Формула (3), за да намерите S_ABCD.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие AC е ъглополовяща на BAD и CAD = 30° BAC = 30°.
- По условие в ΔBAD AO е ъглополовяща и медиана (защото BO = DO) ΔBAD – равнобедрен с бедра AD и AB.
- Но равнобедрен триъгълник с ъгъл 60° (BAD = 30° + 30° = 60°) е равностранен, т.е. AB = AD = BD = 4, ABO = 60°.
- Прилагаме Теорема за сбор на ъгли за ΔABO:
  ABO + BAO + AOB = 180° 60° + 30° + AOB = 180° AOB = 90°.
- Прилагаме Теорема за сбор на ъгли за ΔACB:
  ABC + BAC + ACB = 180° ABC + 30° + 75° = 180° ABC = 75°, т.е. ΔACB е равнобедрен AC = AB = 4.
- Използваме формула (3):
  S_ABCD = .sin AOB = 8.
- Верен отговор А).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Най-голямата стойност на израза A = sin 2x – sin² 3x + cos sin е равна на:

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Тригонометрична формулата (6.3) и след преобразования отчетете, че sin 2x ≤ 1.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Тр.Ф. (6.3) и преобразуваме:
- Но sin 2x ≤ 1, тогава sin 2x – ≤ 1 – ≤ .
- Отговор: Най- голямата стойност на израза А е .

Решенията на уравнението са:

Вижте упътване

Упътване:

Решете ирационалното уравнение.

Вижте решение

Решение:

След първия месец от съществуването си новоучредената фирма „Възход 2016” имала 4100 лв. разходи, а приходите ѝ били 2450 лв. От всеки следващ месец приходите на фирмата се увеличавали с по 600 лв. а разходите ѝ намалявали с по 500 лв. След колко месеца общата сума на приходите е надминала общата сума на разходите, т.е. фирмата е „излязла на печалба”?

Вижте упътване

Упътване:

Разпишете как се движат приходите и разходите за всеки месец.

Вижте решение
Решение:
- Един от начините за решаване е да разпишем движението на приходите и разходите за всеки месец:
- От таблицата е вижда, че фирмата е на печалба след 4 месец, защото разходите до 4 месец са – 1650 – 550 + 550 + 1650 = 0.
- Отговор: 5 месеца.

Средният ръст на двамата треньори на детски баскетболен отбор е 205 cm. В залата тренират 10 деца със среден ръст от 169 cm. С колко сантиметра ще се повиши средният ръст на хората в залата при влизането на двамата треньори?

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте определението за средна стойност.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формула (8):
  = 175.
- Намираме отговора:
  175 – 169 = 6.
- Отговор: 6 cm.

Даден е ΔABC със страни AB = 24, BC = 21, АС = 15. Дължината на ъглополовящата CL на ACB е равна на:

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Формула (7).

Вижте решение
Решение:
- Използваме Формула (7):
- Отговор: CL = 5.

Условията на задачи от 26. до 28. включително може да намерите тук, а указание за решаването им – тук.

Върни се нагоре Други тестове 2017 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура