ВТОРА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 21. до 30. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Всеки верен отговор на задачи от 21 до 30 включително се оценява с по 2 точки.

21. Решенията на уравнението 5^{2x + 1} = 5^x + 4 са:
    • А)0
    • Б)0 и – 2
    • В)– 1
    • Г)– 1 и 4
    • Д)5
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Решете показателното уравнение чрез полагане.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Използваме формула (1) и преобразуваме показателното уравнение:
      5^{2x + 1} = 5^x + 4 5.5^2x – 5^x – 4 = 0.
    • Полагаме 5^x = y > 0 и получаваме квадратното уравнение:
      5y² – y – 4 = 0.
    • Решенията му са:
      y₁ = – ∉ ДМ_y, y₂ = 1.
    • Заместваме в полагането с y₂ = 1:
      5^x = 1 5^x = 5⁰ x = 0.
    • Верен отговор А).

---

22. Решението на неравенството log₃ x + log_x 9 < 3 принадлежи на интервала:
    • А)(3; 9)
    • Б)(0; 1) (3; 9)
    • В)(0; 3) (9; + ∞)
    • Г)(0; 1) (3; + ∞)
    • Д)(– ∞; 3)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Решете логаритмичното неравенство чрез полагане.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Използваме формули (6) и (5), и преобразуваме логаритмичното неравенство:
      log₃ x + log_x 9 < 3 log₃ x + log_x 3² < 3 log₃ x + 2.log_x 3 – 3 < 0 log₃ x + 2. – 3 < 0.
    • Намираме дефиниционното множество:
      ДМ_x: x (0; 1) (1; + ∞).
    • Полагаме log₃ x = y и преобразуваме:
      y + 0.
    • Използваме метода на интервалите:
      • Нулираме числител:
        y² – 3y + 2 = 0; y₁ = 1, y₂ = 2.
      • Нулираме знаменател:
        y = 0.
      • Нанасяме тези корени на числовата ос и очертаваме интервалите:
        
      • Определяме решенията:
        y (– ∞; 0) (1; 2).
    • Връщаме се в полагането:
      • От y (– ∞; 0) получаваме:
        log₃ x < 0 x < 3⁰ (A): x < 1.
      • От y (1; 2) получаваме:
        (B): x (3; 9).
      • Решенията (А) и (В) ги засичаме с ДМ_х и получаваме крайните решения:
        x (0; 1) (3; 9).
    • Верен отговор Б).

---

23. Корените на уравнението 2(sin x + cos x) + sin 2x + 1 = 0, които принадлежат на затворения интервал , са:
    • А)– и 0
    • Б)–
    • В)
    • Г)0 и
    • Д)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Използвайте Тригонометрична формула (5.1), за да преобразувате тригонометричното уравнение, така че в него да участват само изразите sin x + cos x и sin x . cos x.
    2. Решете тригонометричното уравнение чрез полагането sin x + cos x.
    3. Преценете кои от тези решения принадлежат на дадения интервал.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Използваме Тр.Ф. (5.1):
      2(sin x + cos x) + sin 2x + 1 = 0 2(sin x + cos x) + 2 sin x . cos x + 1 = 0.
    • Решаваме това тригонометрично уравнение чрез полагане:
      • Полагаме:
        (A): sin x + cos x = y.
      • В уравнението има израз sin x . cos x. За да го получим, повдигаме двете страни на полагането на квадрат:
        sin x + cos x = y ↑ ² sin² x + 2sin x cos x + cos² x = y² (sin² x + cos² x) + 2sin x cos x = y² 1 + 2sin x cos x = y²
        (B): sin x cos x = .
      • Използваме Тр.Ф. (8.12) в (А):
        (C): sin x + cos x = y sin (x + ) = y.
      • Но sin α [– 1; 1], затова ДМ_y: .
      • Заместваме (А) и (В) в тригонометричното уравнение:
        2(sin x + cos x) + 2 sin x . cos x + 1 = 0 2y + 2 . + 1 = 0 y² + 2y = 0 y(y + 2) = 0.
      • Решенията на това уравнение са:
        • y₁ = 0 ДМ_y.
        • y + 2 = 0 y₂ = – 2 ∉ ДМ_y.
      • Заместваме с y₁ = 0 в полагането (С):
        sin (x + ) = 0 sin (x + ) = 0.
      • Това уравнение е основно тригонометрично уравнение и решенията му определяме от Таблица 1:
        x + = kπ x = – + kπ, където k = 0; ±1; ±2; ... е броят на оборотите (т.е. броят на завъртанията на второто рамо на ъгъла).
    • Определяме броя на решенията x = – + kπ в интервала , като задаваме стойности на k, докато решенията започнат да се повтарят:
    • Верен отговор Б).

---

24. Даден е ΔABC със страни AC = 1cm, AB = 2 cm и CAB = 120°. Ъглополовящата на CAB пресича описаната около триъгълника окръжност в точка L (L ≠ A). Дължината на отсечката AL е:
    • А)1 cm
    • Б)2 cm
    • В)2, 5 cm
    • Г)3 cm
    • Д)3, 5 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. От условието намерете BAL.
    2. Приложете косинусова теорема за ΔABC, за да намерите BC.
    3. Използвайте синусова теорема за ΔABC и ΔABL, за да докажете, че BL = BC.
    4. Приложете косинусова теорема за ΔABL, за да намерите отговора.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • По условие AL е ъглополовяща на CAB CAL = BAL = 60°.
    • Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:
      BC² = AB² + AC² – 2AB.AC.cos 120° = 2² + 1² – 2.2.1.(– ) = 7 BC = .
    • Окръжността описана около ΔABC и ΔABL е една и съща. Нека радиусът на тази окръжност да отбележим с R.
    • Намираме BL:
      • Прилагаме синусова теорема за ΔABC:
        (A): = 2R.
      • Прилагаме синусова теорема за ΔABL:
        (B): = 2R.
      • От (А) и (В) получаваме:
    • Нека AL = x и прилагаме косинусова теорема за ΔABL:
      BL² = AB² + AL² – 2AB.AL.cos 60° = 2² + x² – 2.2.x. x² – 2x – 3 = 0.
    • Решенията на това квадратно уравнение са x₁ = 3 и x₂ = – 1 < 0 ∉ ДМ_x (защото х е отсечка).
    • Т.е. AL = x = 3 cm.
    • Верен отговор Г).

---

25. В равнобедрен ΔABC с бедра AC = BC = 10 cm са построени медианите AA₁ и BB₁, които се пресичат в точка M. Ако точките M, A₁, B₁ и C₁ лежат на една окръжност, то дължината на основата AB е:
    • А)7 cm
    • Б)8 cm
    • В)9 cm
    • Г)10 cm
    • Д)11 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. От еднаквостта на подходяща двойка триъгълници докажете, че A₁ = B₁.
    2. Използвайте формула (1), за да докажете, че A₁ = 90°.
    3. Използвайте теорема-признак за равностранен триъгълник, за да докажете, че ΔABC е равностранен.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • По условие т. М е медицентър, т.е. CC₁ е медиана в равнобедрения ΔABC.
    • Това означава, че CC₁ е ъглополовяща на ACB.
    • ΔMA₁C ≅ ΔMB₁C (по I признак, защото: 1. A₁C = B₁C – по условие, 2. CM – обща, 3. MCA₁ = MCB₁ – по д-во) A₁ = B₁ = x.
    • MA₁CB₁ – вписан в окръжност и прилагаме формула (1):
      A₁ + B₁ = 180° x + x = 180° x = 90°.
    • Т.е. AA₁C = 90° или AA₁ е височина в ΔABC, но по условие AA₁ е медиана в равнобедрения ΔABC и по Теорема-признак 3 следва, че ΔABC е равностранен.
    • Или AB = AC = BC = 10 cm.
    • Верен отговор Г).

---

26. По случаен начин се нареждат в редица две различни книги по математика и три различни книги по биология. Вероятността, книгите по математика да не са една до друга, е:
    • А)
    • Б)
    • В)
    • Г)
    • Д)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Намерете вероятността книгите по математика да СА една до друга, като всички възможни случаи са равни на пермутации от 5 елемента, а благоприятните случаи са равни на пермутации от 4 елемента умножени по 2.
    2. Намерете отговора, като от 1 извадите полученото число в стъпка 1.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Намираме вероятността книгите по математика да СА една до друга.
      • Намираме всички възможни случаи n – Всички книги са 5, като се използват всичките елементи, т.е. броят n на всички възможни случаи са равни на пермутации от 5 елемента:
        n = P₅ = 1.2.3.4.5.
      • Намираме благоприятните случаи m:
        • Двете книги по математика ги разглеждаме като една група.
        • Така елементите стават 4 (3 книги по биология и една група по математика). Използват се всичките, т.е. намираме пермутации от 4 елемента.
        • Двата елемента в групата по математика могат да се подредят по 2 начина.
        • Затова броят на благоприятните случаи е:
          m = 2.P₄ = 2.1.2.3.4.
      • Използваме формула (7), за да намерим вероятността, книгите по математика да СА една до друга:
        p = .
    • Вероятността, книгите по математика да НЕ са една до друга е:
      1 – .
    • Верен отговор В).

---

27. Средната стойност на пет числа е 30. Числото, което трябва да се добави към тях, така че средната им стойност да стане 40, е:
    • А)10
    • Б)20
    • В)50
    • Г)70
    • Д)90
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Използвайте подходяща формула за средна стойност на данни.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Нека да имаме 5 числа x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, като A = x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅.
    • Използваме формула (8) за I случай:
      Ср. стойност _{I случай} = = 30 A = 150.
    • Нека добавеното числа да отбележим с x и отново прилагаме формула (8) за II случай:
      Ср. стойност _{II случай} = x = 90.
    • Верен отговор Д).

---

28. Решенията на системата са:
    • А)(– 2; – 3) и (2; 3)
    • Б)(– 2; – 1) и (1; 2)
    • В)
    • Г)(6; 5) и (5; 2)
    • Д)(– 1; – 2) и (2; 1)
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Решете системата чрез заместване.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • За първото уравнение в системата прилагаме формула (7) и решаваме системата чрез заместване:
    • Заместваме в x = 1 + y:
      • При y₁ = – 2 x₁ = 1 + (– 2) = – 1.
      • При y₂ = 1 x₂ = 1 + 1 = 2.
    • Решенията са: (– 1; – 2) и (2; 1).
    • Верен отговор Д).

---

29. Основата на четириъгълна пирамида ABCDM e квадрат ABCD с диагонал BD = 6 cm. Околният ръб AM е перпендикулярен на основата на пирамидата и има дължина 8 cm. Радиусът на описаната около пирамидата ABCDM сфера е:
    • А)3 cm
    • Б)4 cm
    • В)5 cm
    • Г)6 cm
    • Д)7 cm
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване:

    1. Намерете триъгълник, който да е вписан в голямата окръжност на сферата (използвайте примерен начин), за да намерите центъра на описаната сфера.
    2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете R.

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Нека с т. H отбележим центъра на описаната около пирамидата сфера. Намираме позицията на т. H.
      • CO е височина и медиана в равнобедрения ΔABD.
      • Тогава ΔACM е вписан в голямата окръжност на сферата.
      • Но по условие ΔACM – правоъгълен, т.е. пресечната точка на симетралите му е в средата на хипотенузата CM.
      • Това означава, че т. Н лежи на CM и CH = MH = R = CM.
    • ABCD – квадрат AC = BD = 6 cm (като диагонали).
    • Прилагаме Питагорова теорема за ΔACM (CAM = 90°):
      CM² = AC² + AM² = 6² + 8² = 100 CM = 10 cm.
    • Намираме радиуса на описаната сфера:
      R = CM = . 10 R = 5 cm.
    • Верен отговор В).

---

30. Стойностите на реалния параметър k, за които корените на квадратното уравнение x² – 2kx – 1 = 0, принадлежат на затворения интервала [– 2; 2], са:
    • А)k
    • Б)k
    • В)k
    • Г)k
    • Д)k
    Проверете отговор

    Моля, изберете отговор.

    Отговорът е грешен.

    Упътване: Използвайте променена формула (4), заради затворения интервал [– 2; 2].

    Отговорът е верен.

    Вижте решение

    Решение:

    • Нека лявата страна на квадратното уравнение да отбележим с функцията f (x) = x² – 2kx – 1.
    • Корените на квадратното уравнение x₁ и x₂, принадлежат на интервала [– 2; 2], ако е изпълнена системата (формула 4 е променена заради затворения интервал [– 2; 2]):
      
    • Решаваме всяко от тези неравенства:
      • Намираме дискриминантата на даденото уравнение и решаваме квадратното неравенство:
        (1): D = k² + 1 ≥ 0 k.
      • Намираме стойността на функцията f (x) при x = – 2 и решаваме полученото неравенство:
        (2): f (– 2) = (– 2)² – 2k.(– 2) – 1 ≥ 0 4k ≥ – 3 k ≥ – .
      • Намираме стойността на функцията f (x) при x = 2 и решаваме полученото неравенство:
        (3): f (2) = 2² – 2k.2 – 1 ≥ 0 4k ≤ 3 k ≤ .
      • Намираме върха на параболата на функцията и решаваме полученото неравенство:
        (4): – = k ≥ – 2.
      • По подобен начин решаваме неравенство (5):
        (5): – = k ≤ 2.
    • Засичаме (1), (2), (3), (4) и (5), и получаваме:
      k .
    • Верен отговор А).

Върни се в ПЪРВА ЧАСТ