Технически университет - тест по математика, 2019 г

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – София
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юли 2019 година

ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Ако 5% от едно число са равни на 23% от 15,5, то числото е равно на:
- А)71,3
- Б)100,3
- В)103
- Г)103,3
- Д)105
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща основна задача от проценти.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме търсеното число с x и използваме основни задачи от проценти:
  5%.x = 23%.15,5 0,05.x = 0,23.15,5 x = 71,3.
- Верен отговор А).

Изразът е равен на:
- А)
- Б)–
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи свойства на показателна и ирационална функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме подходящи свойства на показателната функция (формули от 1 до 8), а за корена – използваме формула (3):
- Верен отговор В).

Ако разликата на корените на уравнението x² + 13x + c = 0 е равна на 5, то стойността на параметъра c е:
- А)20
- Б)26
- В)36
- Г)164
- Д)– 56
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме една от формулите на Виет и намираме:
  x₁ + x₂ = – – 13.
- Съставяме система от това равенство и даденото, и я решаваме чрез събиране:
  2x₁ = – 8 x₁ = – 4, x₂ = – 9.
- Използваме другата формула на Виет и намираме отговора:
  x₁.x₂ = c (– 4).(– 9) = c c = 36.
- Верен отговор В).

Корените на уравнението 10 + x = са:
- А)– 14 и – 7
- Б)– 14 и 7
- В)14 и – 7
- Г)– 14
- Д)– 7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете ирационалното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Даденото уравнение е ирационално в основен вид и го решаваме по II правило:
- Верен отговор Д).

За геометрична прогресия с общ член a_n е известно, че a₁ + a₅ = 51 и a₂ + a₆ = 102. Първият член на прогресията е:
- А)2
- Б)
- В)– 2
- Г)–
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Съставете система, като използвате подходящи теореми на геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема 1 на геометрична прогресия:
  a₂ = a₁.q, a₅ = a₁.q⁴, a₆ = a₁.q⁵.
- От даденото съставяме система и я решаваме чрез делене:
- Заместваме в едно от уравненията на системата (например, в първото уравнение), за да намерим отговора:
  a₁ + a₁q⁴ = 51 a₁ + a₁ . 2⁴ = 51 a₁ = 3.
- Верен отговор Д).

Целите числа, които не са решения на неравенството (x² + 9)(x – 1)(x – 3) > 0, са:
- А)1; 2
- Б)1; 2; 3
- В)0; 1; 2
- Г)2; 3; 4
- Д)– 1; 4; 5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете неравенството по метода на интервалите.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Неравенството е в готов вид (2) и използваме метода на интервалите.
- Нулираме всяка скоба:
  - x² + 9 = 0 x² = – 9, няма решение.
  - x – 1 = 0 x = 1.
  - x – 3 = 0 x = 3.
- Нанасяме тези числа на числовата ос и определяме знаците на всеки интервал:
- Определяме решенията:
  x (– ∞; 1) (3; + ∞).
- Числата, които НЕ са решения (търсените числа) принадлежат на интервала x [1; 3];
- Верен отговор Б).

Ако a = , то числото log_a 9 е равно на:
- А)– 1
- Б)– 4
- В)1
- Г)4
- Д)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули и намерете логаритъма.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формули (6) и (4), за да преобразуваме числото а:
  a = .
- Използваме формула (8), за да намерим логаритъма:
- Верен отговор Б).

Ако 2^a = 3, то стойността на израза 16^a – 2.4^a + 1 е:
- А)194
- Б)169
- В)121
- Г)64
- Д)54
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула за съкратено умножение, за да преобразувате дадения израз и след това заместете.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използвайте формула (2) от формулите за съкратено умножение и след това заместваме:
  16^a – 2.4^a + 1 = (4^a – 1)² = [(2^a)² – 1]² = (3² – 1)² = 64.
- Верен отговор Г).

Ако x₁ и x₂ са корените на уравнението x² – 7x + 3 = 0, а y₁ и y₂ са корените на уравнението y² – 4y – 11 = 0, то стойността на израза x₁y₁ + x₁y₂ + x₂y₁ + x₂y₂ е:
- А)33
- Б)– 33
- В)– 28
- Г)28
- Д)77
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте израза, така че в него да използвате формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме само едната формула на Виет за двете дадени уравнения:
- Разлагаме на множители чрез групиране и заместваме:
  (x₁y₁ + x₁y₂) + (x₂y₁ + x₂y₂) = x₁(y₁ + y₂) + x₂(y₁ + y₂) = (x₁ + x₂)(y₁ + y₂) = 7.4 = 28.
- Верен отговор Г).

Ако 3cos² α = 2, то стойността на израза 2sin² α – cos 2α е:
- А)
- Б)–
- В)
- Г)–
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: С помощта на подходящи тригонометрични формули преобразувайте израза така, че в него да има само тригонометрична функция косинус и заместете с даденото.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От даденото получаваме:
  3cos² α = 2 cos² α = .
- Използваме Тригонометрични формули (1.1) и (5.2):
  2sin² α – cos 2α = 2(1 – cos² α) – (2cos² α – 1) = 3 – 4 cos² α = 3 – 4..
- Верен отговор А).

За растяща аритметична прогресия с общ член a_n е известно, че a₁ + a₂ + a₃ = 0 и a₁² + a₂² + a₃² = 0. Разликата на прогресията е:
- А)7
- Б)– 6
- В)14
- Г)– 7
- Д)6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Теорема 1 на аритметична прогресия, за да разпишете a₁ и a₃.
2. От дадените две уравнения съставете система и я решете чрез заместване.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема 1 за аритметичната прогресия и получаваме:
  - a₂ = a₁ + d.
  - a₃ = a₁ + 2d.
- Съставяме система и я решаваме чрез заместване:
- По условие имаме растяща аритметична прогресия, т.е. d > 0, тогава отговорът е d = 7.
- Верен отговор А).

Двама танцьори от един състав могат да се изберат по 15 различни начина. Броят на танцьорите в състава е:
- А)5
- Б)6
- В)10
- Г)30
- Д)60
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете комбинации на 15 елемента от втори клас.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Избират се 2 танцьори (k = 2) от общо n участници в групата, като редът им няма значение, т.е. трябва да използваме формулата за комбинации:
  C_n² = n² – n – 30 = 0.
- Решенията на това квадратно уравнения са n₁ = – 5 < 0 и n₂ = 6.
- Верен отговор Б).

Тото играта „5 от 35“ се състои в изтегляне по случаен начин на пет различни числа измежду числата {1; 2; …; 35}. Вероятността и петте изтеглени числа да са нечетни е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Всичките възможни случаи са комбинации на 5 елемента от общо 35.
2. Благоприятните случаи са комбинации на 5 елемента от общо 18.
3. Използвайте формулата за класическа вероятност.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Избираме 5 числа от общо 35, като редът им няма значения, т.е. броят на всички случаи е:
  n = C₃₅⁵ = .
- Между числата {1; 2; …; 35} има 18 нечетни числа.
- По условие се иска всички изтеглени числа да са нечетни, т.е. избират се 5 числа от общо 18, като редът им няма значение, т.е. броят на благоприятните случаи е:
  m = C₁₈⁵ = .
- Използваме формула (7):
  p = .
- Верен отговор В).

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с радиус cm и ABC = 165°. Дължината на диагонала AC в сантиметри е:
- А)2 +
- Б)2 –
- В) – 1
- Г) + 2
- Д)2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. С помощта на подходяща тригонометрична формула намерете sin 165°.
2. В подходящ триъгълник използвайте синусова теорема, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Тригонометрична формула (4.1) и след това Таблица №1:
  sin 165° = sin (120° + 45°) = sin 120° cos 45° + cos 120° sin 45° = – 1).
- Използваме синусова теорема за ΔABC:
- Верен отговор В).

В ΔABC медианите през върховете A и B са съответно 18 cm и 15 cm, а AB = 20 cm. Ако т. G е медицентърът на ΔABC, то cos AGB е:
- А)
- Б)–
- В)–
- Г)
- Д)–
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте Основна Зад. 4.1, за да намерите AG и BG.
2. Използвайте косинусова теорема за ΔABG, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Основна Зад. 4.1 получаваме:
  - AG = AA₁ = . 18 = 12 cm.
  - BG = BB₁ = . 15 = 10 cm.
- Нека AGB = x.
- Прилагаме косинусова теорема за ΔABG:
- Верен отговор В).

В правоъгълен трапец с остър ъгъл 30° и лице 20 cm² е вписана окръжност. Лицето на кръга, определен от тази окръжност, е:
- А) cm²
- Б) cm²
- В) cm²
- Г) cm²
- Д) cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изразете височината и бедрата на трапеца чрез радиуса на вписаната окръжност.
2. Изразете сбора от основите чрез радиуса на вписаната окръжност.
3. Използвайте подходяща формула за лице на трапец, за да намерите радиуса на вписаната окръжност.
4. Намерете лицето на кръга, като използвате формулата S_кръг = π.r².
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека AB = a – голяма основа на трапеца, CD = b – малката основа на трапеца, r - радиус на вписаната окръжност.
- По условие ABCD е правоъгълен описан трапец и от Теорема 4 (формула 18) записваме:
  AD = CH = h = 2r.
- Прилагаме формула (1) за правоъгълния ΔBHC (H = 90°, B = 30°:
  BC = 2CH = 2.2r BC = 4r.
- Трапецът ABCD е описан около окръжност и прилагаме Теорема 3:
  AB + CD = AD + BC a + b = 2r + 4r a + b = 6r.
- Използваме формулата за лице на трапец (формула 19):
  S_ABCD = 20 = 6r² r² = .
- S_кръг = π.r² = cm².
- Верен отговор А).

Диагоналът на равнобедрен трапец е 2 cm, а ъгълът между този диагонал и голямата основа на трапеца е 60°. Лицето на трапеца е:
- А)2 cm²
- Б) cm²
- В) cm²
- Г)3 cm²
- Д)3 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Ако височината на трапеца отбележим с СН, то от подходящ правоъгълен триъгълник намерете отсечките СН и АН.
2. Използвайте формула (15) и формула (19), за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме формули (11) и (10) за правоъгълния ΔAHC:
- ABCD – равнобедрен трапец и използваме формула (15):
  AH = = 1 cm.
- Намираме търсеното лице:
  S_ABCD = CH = AH.CH = 1. cm².
- Верен отговор Б).

Сборът от катетите на правоъгълен триъгълник е 23 cm, а разликата им е 7 cm. Радиусът на описаната около триъгълника окръжност е равен на:
- А)17 cm
- Б)15 cm
- В)10 cm
- Г)8,5 cm
- Д)8 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте даденото и Питагорова теорема, за да намерите катетите и хипотенузата на триъгълника.
2. Използвайте формула (8), за да намерите търсения радиус.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека правоъгълният триъгълник да има катети a и b, хипотенуза c и радиус R на описаната около триъгълника окръжност.
- От даденото съставяме система и я решаваме чрез събиране:
  2a = 30 a = 15 cm.
- Тогава от a + b = 23 15 + b = 23 b = 8 cm.
- За даденият правоъгълен триъгълник използваме Питагорова теорема:
  a² + b² = c² 15² + 8² = c² c = 17 cm.
- Използваме формула (8), за да намерим R:
  c = 2R 17 = 2R R = 8,5 cm.
- Верен отговор Г).

Диаметърът на основата на прав кръгов цилиндър е 6 cm и е равен на височината на цилиндъра. Лицето на пълната повърхнина на правилна триъгълна призма, вписана в цилиндъра, е равно на:
- А)135 cm²
- Б) cm²
- В) cm²
- Г) cm²
- Д) cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Правилната триъгълна призма е вписана в цилиндъра. Това означава, че около основата на призмата (която е равностранен триъгълник) може да се опише окръжност (тази окръжност е основата на цилиндъра), като центърът на тази окръжност е медицентър на равностранния триъгълник.
2. Използвайте теорема за медицентър и формула (6), за да намерите височината и страната на основата на призмата.
3. Използвайте формула за лице на повърхнината на призма.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие в цилиндърът е вписана правилната триъгълна призма, т.е. окръжността на основата му е описана около равностранния триъгълник ΔMBN, като радиусът на тази окръжност е:
  OB = AB = . 6 OB = 3 cm.
- ВН е височина на равностранния ΔMBN, а т. О е медицентър. Това означава, че:
  OH = 1,5 cm.
- BH = BO + OH = 3 + 1,5 = 4,5 cm.
- Използваме формула (6) за височината ВН в равностранния ΔMBN:
  BH = MN 4,5 = . MN MN = 3.
- Намираме лицето на повърхнината на правилната триъгълна призма:
  - Използваме формула (7):
    B = S_ΔMBN = .
  - Намираме лицето на околната повърхнина на призмата:
    S = P_ΔMBN . BB₁ = 3.3.6 = 54.
  - Намираме лицето на повърхнината на призмата:
    S₁ = S + 2B = 54 + 2. cm².
- Верен отговор Д).

Даден е куб с околни ръбове AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁. Стойността на sin AD₁B е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
- Д)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. За подходящи правоъгълни триъгълници приложете Питагорова теорема и изразете AD₁, BD и BD₁ чрез основния ръб АВ.
2. Приложете косинусова теорема за ΔABD₁.
3. Използвайте Тригонометрична формула (1.1), за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека всички ръбове на куба да ги отбележим с a.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔADD₁ (ADD₁ = 90°):
  AD₁² = AD² + DD₁² = a² + a² = 2a² AD₁ = a.
- По подобен начин от ΔABD (BAD = 90°) получаваме, че BD = a.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔBDD₁ (BDD₁ = 90°):
  BD₁² = BD² + DD₁² = 2a² + a² = 3a² BD₁ = a.
- Нека AD₁B = φ и прилагаме косинусова теорема за ΔABD₁:
  AB² = AD₁² + BD₁² – 2.AD₁.BD₁.cos φ a² = 2a² + 3a² – 2.a.a.cos φ cos φ = .
- Използваме основното тригонометрично равенство (Тр.Ф.1):
  sin² φ + cos² φ = 1 sin² φ + .
- Верен отговор В).

Условията на задачите от ВТОРА ЧАСТ може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2018 г. 2020 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура