Матура по математика

Тест от държавен зрелостен изпит (ДЗИ)
по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2020 година

МОДУЛ 1

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Ако x = , a y = , с колко процента у е по-голямо от х?
- А)с 500%
- Б)с 400%
- В)с 250%
- Г)със 100%
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете y – x.
2. Разделете тази разлика на х.
3. Умножете по сто, за да получите резултата в процент.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме с колко y е по-голямо от х:
  y – x = .
- Разделяме тази разлика на х:
  = 4.
- Превръщаме в процент:
  . 100 = 4.100 = 400%.
- Верен отговор Б).

Стойността на израза е:
- А)18 – 3
- Б)5
- В)7
- Г)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте така, че в изразът да има само корен квадратен от 5 и извършете действията с еднаквите корени.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме дадения израз:
- Верен отговор Г).

Кое от числата НЕ е от допустимата стойност на израза A = ?
- А)– 2
- Б)– (– 1)³
- В)
- Г)– 3 ^{– 4}
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на ирационален и дробен израз, и проверете отговорите.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ на ирационален и дробен израз:
  x (– ∞; 3].
- Проверяваме отговорите, като използваме подходящи формули:
  A) – 2 (– ∞; 3].
  
  Б) – (– 1)³ = 1 (– ∞; 3].
  
  В) = 5³ = 125 ∉ (– ∞; 3].
  
  Г) – 3^{– 4} = – .
- Верен отговор В).

Множеството от решенията на неравенството ≤ 0 е:
- А)(– ; 2]
- Б)(– ; 2] {4}
- В)(– ; 2] [2; 4]
- Г)(– ; 2] [4; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете дробното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Даденото неравенство е дробно в основен вид и го решаваме по метода на интервалите.
- Нулираме числител и знаменател:
  - x – 2 = 0 x = 2.
  - (x – 4)² = 0 x₁ = x₂ = 4.
  - x + = 0 x = – .
- Коренът x = 4 се повтаря, защото част от числителят има двоен корен. Това означава, че имаме частен случай на метода на интервалите, т.е. коренът x = 4 се нанася на числовата ос, но не се включва в интервалите:
- Определяме решенията на неравенството:
  x (– ; 2] {4}.
  Бележки:
  Не сме намерили ДМ и затова, числото идващо от знаменател не се включва в решенията.
  
  Частният случай (числото 4) се включва в решенията, защото по условие имаме по-малко или равно и частният случай е в числител.
- Верен отговор Б).

Сравнете числата a = , b = 1 и c = .
- А)a < b < c
- Б)b < c < a
- В)c < a < b
- Г)a < c < b
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формули (5), (6) и (8):
  - a = < 1.
  - c = 1.
- Сравняваме числата:
  a < b < c.
- Верен отговор А).

Броят на различните наредени двойки (x; y), които са решения на системата е:
- А)0
- Б)1
- В)2
- Г)4
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете системата чрез заместване.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез заместване:
  x² + 3x + 1 = 2x² – 5x + 17 x² – 8x + 16 = 0.
- Решаваме това квадратно уравнение по съкратената формула:
  - D = 4² – 16 = 0.
  - x₁ = x₂ = 4.
  Бележка:
  Квадратното уравнение маже да се реши и без дискриминанта, ако съобразим, че:
  x² – 8x + 16 = 0 (x – 4)² = 0 x = 4.
- Намираме другото неизвестно, като заместим в едно от уравненията на дадената система. Например, в първото уравнение:
  y = x² + 3x + 1 = 4² + 3.4 + 1 = 29.
- Решението на дадената система е само една наредена двойка (4; 29).
- Верен отговор Б).

Ако x₁ и x₂ са корени на уравнението x – = 9, то x₁ + x₂ е равно на:
- А)– 22
- Б)– 9
- В)9
- Г)22
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото уравнение:
  x – = 9 x² – 22 = 9x x² – 9x – 22 = 0.
- Използваме формулите на Виет:
  x₁ + x₂ = – = 9.
- Верен отговор В).

Ако tg α = 2, α (0°; 90°), то стойността на sin α е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвате тригонометрични формули (1.3) и (1.1).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото:
  .
- Използваме тригонометрична формула (1.3):
  sin α = 12x, cos α = 5x.
- Използваме тригонометрична формула (1.1):
  sin² α + cos² α = 1 (12x)² + (5x)² = 1 169x² = 1 x² .
- Намираме отговора:
  sin α = 12x = .
- Верен отговор А).

Отсечката CD е височина в правоъгълния ΔABC. Катетът BC = 6 cm и BD = 4 cm. Дължината на отсечката AD е:
- А)5 cm
- Б)6,5 cm
- В)6 cm
- Г)5 cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете CD.
2. Използвайте формула (6), за да получите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔBDC (D = 90°):
  CD² + BD² = BC² CD² + 4² = 6² CD² = 20 CD = 2.
- Използваме формулата (6) за правоъгълния ΔABC (C = 90°):
  CD² = AD.BD 20 = AD.4 AD = 5 cm.
- Верен отговор Г).

На чертежа правите AC и BD се пресичат в точка P, като ABP = CDP. Ако CP = 2 cm, DP = 3 cm и BP = 15 cm, то дължината на отсечката AC е:
- А)7,5 cm
- Б)10 cm
- В)12 cm
- Г)24,5 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете подобни триъгълници и използвайте подходящо свойство за тях.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- ΔABP ~ ΔCDP (по I признак), защото: 1) ABP = CDP – по условие; 2) APB = CPD – като връхни.
- Прилагаме формула (3):
  AP = 10 cm.
- Намираме отговора:
  AC = AP + CP = 10 + 2 = 12 cm.
- Верен отговор В).

Критерии за оценяване

В ΔABC отсечката CL (L AB) е ъглополовяща, точката О е центърът на вписаната окръжност, AC = 6 cm и CO : OL = BL : AL = 3 : 2. Периметърът на ΔABC е:
- А)20 cm
- Б)22 cm
- В)24 cm
- Г)25 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Докажете, че АО е ъглополовяща в ΔALC и използвайте подходящо свойство на ъглополовящите АО и CL в ΔALC и ΔABC.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От дадените отношения може да запишем: BL = 3x, AL = 2x, CO = 3y, OL = 2y.
- По условие т. О е център на вписаната в ΔABC окръжност, което означава, че правата АО е ъглополовяща на BAC.
- В ΔALC използваме формула (5) за ъглополовящата АО:
  x = 2.
- Тогава:
  - AL = 2x = 2.2. = 4.
  - BL = 3x = 3.2. = 6.
  - AB = AL + BL = 6 + 4 = 10 cm.
- CL – ъглополовяща в ΔABC и отново от формула (5) получаваме:
  BC = 9 cm.
- Тогава:
  P_ΔABC = AB + BC + AC = 10 + 9 + 5 = 25 cm.
- Верен отговор Г).

Ординатите на пресечните точки на параболата y = – x² + 2x + 4 с ъглополовящата на втори и четвърти квадрант са:
- А)– 1 и 4
- Б)– 4 и 1
- В)– 1 и 1
- Г)– 4 и 4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че ъглополовящата на втори и четвърти квадрант е линейна функция от вида y₁ = – x.
2. Решете уравнението y = y₁, за да намерите абсцисите на пресечните точки на параболата на квадратната функция y = – x² + 2x + 4 с правата линия на линейната функция y₁ = – x.
3. Заместете с получените решения от стъпка 2 в една от функциите, за да намерите ординатите на пресечните им точки.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Знаем, че ъглополовящата на втори и четвърти квадрант е линейна функция от вида y₁ = – x.
- Графиката на квадратната функция y = – x² + 2x + 4 е парабола, а графиката на линейната функция y₁ = – x е права линия.
- Решаваме уравнението y = y₁, за да намерим х-тите координатите на пресечните точки на параболата с правата линия:
  - – x² + 2x + 4 = – x x² – 3x – 4 = 0.
  - Това квадратно уравнение има дискриминанта D = 25 и корени x₁ = 4, x₂ = – 1.
- Това са х-тите координатите на пресечните точки, но по условие търсим y координатите.
- За да намерим тези y координати, заместваме в една от функциите с намерените стойности на х. Например, във функцията y₁:
  - При x₁ = 4 получаваме y₁ = – x = – 4.
  - При x₂ = – 1 получаваме y₂ = – x = – (– 1) = 1.
- Търсените y координати са: – 4 и 1.
- Верен отговор Б).

Числовата редица {a_n} е определена по следния начин a₁ = – 2, a₂ = 1 и a_n = 3a_{n – 1} + 2a_{n – 2} за всяко естествено число n ≥ 3. Намерете a₅:
- А)– 5
- Б)– 1
- В)1
- Г)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: От даденото разпишете до петия член на редицата.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разписваме до a₅, като използваме даденото:
  - При n = 3 получаваме a₃ = 3a₂ + 2a₁ = 3.1 + 2.(– 2) = – 1.
  - При n = 4 получаваме a₄ = 3a₃ + 2a₂ = 3.(– 1) + 2.1 = – 1.
  - При n = 5 получаваме a₅ = 3a₄ + 2a₃ = 3.(– 1) + 2. (– 1) = – 5.
- Верен отговор А).

За крайна геометрична прогресия е дадено, че a₁ = 2, q = 3 и сборът от членовете ѝ е S_n = 242. Броят n на членовете на прогресията е:
- А)4
- Б)5
- В)6
- Г)7
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща теорема на геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема 2 на геометричната прогресия:
  S_n = a₁ 242 = 2 . 3ⁿ = 243.
- Решаваме това показателно уравнение:
  3ⁿ = 3⁵ n = 5.
- Верен отговор Б).

Стойността на израза tg (α + 15°).cos 2α + cotg (α – 60°).sin 2α при α = 30° е:
- А)– 1
- Б)0
- В)
- Г)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Заместете с дадената стойност на α и използвайте Таблица 1 и Таблица 2.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Заместваме с дадената стойност на α = 30°:
  tg (30° + 15°).cos 2.30° + cotg (30° – 60°).sin 2.30° = tg 45°.cos 60° + cotg (– 30°).sin 60°.
- Използваме Таблица 1 и Таблица 2:
  tg 45°.cos 60° + cotg (– 30°).sin 60° = 1. – cotg 30°. – 1.
- Верен отговор А).

На диаграмата е представена честотата на срещане на цифрите на числата 445, 655, 341, 100, 777 и на още едно трицифрено число. Това число може да е:
- А)707
- Б)751
- В)861
- Г)877
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Определете броя на цифрите в дадените числа.
2. От диаграмата определете броя на цифрите на всички числа.
3. Вижте кои цифри са повече и в отговорите потърсете число с тези цифри.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Определяме броя на цифрите в дадените числа:
  - Цифрата 0 се среща 2 пъти в дадените числа.
  - Цифрата 1 се среща 2 пъти в дадените числа.
  - Цифрата 3 се среща 1 път в дадените числа.
  - Цифрата 4 се среща 3 пъти в дадените числа.
  - Цифрата 5 се среща 3 пъти в дадените числа.
  - Цифрата 6 се среща 1 път в дадените числа.
  - Цифрата 7 се среща 3 пъти в дадените числа.
- От диаграмата определяме броя на цифрите във всички числа:
  - Цифрата 0 се среща 2 пъти.
  - Цифрата 1 се среща 2 пъти.
  - Цифрата 3 се среща 1 път.
  - Цифрата 4 се среща 3 пъти.
  - Цифрата 5 се среща 3 пъти.
  - Цифрата 6 се среща 1 път.
  - Цифрата 7 се среща 5 пъти.
  - Цифрата 8 се среща 1 път.
- Сравняваме получените резултати и установяваме, че в търсеното число трябва да имаме:
  - цифрата 7, която да се среща 2 пъти;
  - цифрата 8, която да се среща 1 път.
- В дадените отговори само числото 877 изпълнява това условие.
- Верен отговор Г).

Редът, чиято мода е 1, а медианата му е 2,5 е:
- А)0, 1, 1, 2, 3, 5, 9, 11
- Б)0, 1, 2, 2, 3, 4, 9, 11
- В)0, 0, 1, 2, 3, 6, 9, 11
- Г)0, 0, 1, 1, 1, 6, 9, 11
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определенията за медиана и мода.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Първо определяме редовете с медиана 2,5:
  - Всички дадени редове са подредени по възходящ ред и имат четен брой елементи (броят им е 8).
  - В отговори А), Б) и В) имаме медиана равна на 2,5, защото за тези редове имаме:
    (2 + 3) : 2 = 2,5.
- Само в отговор А) модата е 1, защото числото 1 се повтаря два пъти.
- Верен отговор А).

В ΔABC BAC = 45° и ABC = 30°. Отношението BC : AC е:
- А) :
- Б)2 :
- В) : 1
- Г) : 1
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте синусова теорема.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Нека BAC = α = 45° и ABC = β = 30°.
- От синусова теорема следва, че:
- Верен отговор В).

В ΔABC AC = 5 cm, BC = 3 cm, точката М е средата на АВ и CM = 2 cm. Дължината на страната AB е:
- А)4 cm
- Б)5 cm
- В)6 cm
- Г)7 cm
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формула (8) за медианата CM = m_c.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използвайте формула (8) за медианата CM = m_c:
  4CM² = 2(AC² + BC²) – AB² 4.(2)² = 2(5² + 3²) – AB² AB² = 36 AB = 6 cm.
- Верен отговор В).

Лицето на успоредник със страни 2 cm и 3 cm e 3 cm². Дължината на по-големия диагонал на успоредника е:
- А) cm
- Б)2 cm
- В)4 cm
- Г) cm
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходяща формула за лице на успоредник намерете sin ABC.
2. Приложете косинусова теорема за ΔABC, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека ABC = β.
- Използваме формула (8):
  S_ABCD = AB . BC . sin β 3 = 3.2.sin β sin β =
- От Таблица 1 следва, че β = 60° или β = 120°.
- По условие се търси по-големия диагонал, а той свързва острите ъгли. Това означава, че β = 120°.
- Прилагаме косинусова теорема за ΔABC:
  AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC. cos 120° = 3² + 2² – 2.3.2.(– ) = 19 AC = cm.
- Верен отговор Г).

МОДУЛ 2

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в свитъка за свободните отговори!

Критерии за оценяване

Пресметнете стойността на израза A = .

Вижте упътване

Упътване:

Пресметнете израза А, като използвате подходящи формули.

Вижте решение
Решение:
- Използваме подходящи формули:
- Отговор: 6.

Намерете решенията на неравенството (x² – 5x + 6)(– x² – x + 6) ≤ 0.

Вижте упътване

Упътване:

Решете неравенство от вида (ax + b)(cx + d) ≤ 0.

Вижте решение
Решение:
- Използваме метода на интервалите:
  - Нулираме едната скоба и решаваме квадратното уравнение:
    x² – 5x + 6 = 0; x₁ = 2, x₂ = 3.
  - Нулираме втората скоба и решаваме квадратното уравнение:
    – x² – x + 6 = 0 | . (– 1) x² + x – 6 = 0; x₁ = – 3, x₂ = 2.
  - Имаме корен, който се повтаря (x = 2), т.е. имаме частен случай на метода на интервалите и този корен се нанася на числовата ос, но не се включва в интервалите:
    
    Бележка:
    В най-десният интервал имаме „ – “, защото имаме 1 минус пред най-високите степени на неизвестното.
  - Определяме решенията:
    x (– ∞; – 3] {2} [3; + ∞).
    Бележка:
    Частният случай (числото 2) се включва в решенията, защото по условие имаме по-малко или равно.

Частното на членовете a₉ и a₂ на една аритметична прогресия е равно на 5, а при деление на a₁₃ с a₆ се получава частно 2 и остатък 5. Намерете първия член и разликата на тази аритметична прогресия.

Вижте упътване

Упътване:

Въведете две неизвестни: първия член a₁ и разликата d на аритметичната прогресия и използвайте теоремата за общия член на аритметичната прогресия и даденото, за да съставите система.

Вижте решение
Решение:
- От даденото съставяме системата:
  
  Бележка:
  
  В училище почти не сме изучавали как се записва деленето с остатък. Този запис ще го демонстрирам с един пример.
  
  Ако разделим числата 13 на 5 ще получим:
  13 : 5 = 2 (остатък 3).
  
  Ако в горният пример не знаем първото число, а знаем останалите три, то може да запишем:
  2.5 + 3 = 13.
  
  По този начин сме създали второто уравнение в системата, като използваме даденото, че „при деленето на a₁₃ с a₆ се получава резултат 2 и остатък 5“.
- Въвеждаме две неизвестни: a₁ и d, и използваме Теорема 1 на аритметична прогресия:
  - a₂ = a₁ + d.
  - a₆ = a₁ + 5d.
  - a₉ = a₁ + 8d.
  - a₁₃ = a₁ + 12d.
- Заместваме в системата и я решаваме чрез заместване:
- Отговор: a₁ = 3, d = 4.

На класна работа по математика учениците от 12а клас, които са 26, имат среден успех добър (4,30), а учениците от 12б клас, които са 24, имат среден успех много добър (5,30). Колко е средният успех общо на учениците от 12а и 12б класове на тази класна работа?

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте формула (9), за да намерите средната стойност на статистическите данни.

Вижте решение
Решение:
- За учениците от 12а клас използваме формула (9):
  ср.успех = .
- Нека числителят на тази дроб да го отбележим с някаква буква (за да не пишем много), например с буквата А и заместваме с даденото:
  4,30 = A = 111,8.
- По подобен начин от същата формула (9) намираме числителя за учениците от 12б клас:
- Отново прилагаме формула (9) за всички ученици (общо те са 26 + 24 = 50):
  ср.успех = = 4,78.
- Отговор: Средният успех на учениците е 4,78.

В ΔABC отсечките AM = 6 cm и BN = 9 cm са медиани, G е общата им точка, а лицето на четириъгълника CNGM е 8 cm². Намерете sin MGN.

Вижте упътване
Упътване:
1. Използвайте Основна зад. 3, за да намерите лицето на ΔNGC.
2. Намерете лицето на ΔBMG.
3. От подходяща формула за лице на триъгълник намерете sin BGM.
4. Използвайте Таблица №2, за да намерите отговора.
Вижте решение
Решение:
- По условие AM, BN, CC₁ са медиани в ΔABC и от Основна зад. 3 – в) следва, че
  S_ΔNGC = S_ΔMGC = S_ΔBMG = S_ΔABC.
- Тогава:
  S_ΔNGC + S_ΔMGC = 2S_ΔNGC = S_CNGM = 8 S_ΔNGC = 4 cm².
- Използваме свойство на медицентър на триъгълник:
  - АМ – медианата MG = AM = . 6 = 2 cm.
  - BN – медианата BG = BN = . 9 = 6 cm.
- Използваме казаното по-горе и формула (2) за ΔBMG:
  S_ΔNGC = S_ΔBMG = BG . MG . sin φ 4 = . 6 . 2 . sin φ sin φ = .
- Използваме Таблица 2:
  sin MGN = sin (180° – φ) = sin φ = .
- Отговор:

Условията на задачи от 26. до 28. включително и указание за решаването им може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2019 г. 2021 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура