Софийски университет - Математика, Юни 2019 г

СОФИЙСКИ УНИВЕРСИТЕТ
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юни 2019 година

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Кое от посочените числа е най-малко:
- А)|9 ^{– 1/2} – 1|
- Б)|2 – 4 ^{– 1/2}|
- В)|1 – 8 ^{– 2/3}|
- Г)|4 ^{– 3/2} – 1|
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Пресметнете числата, като използвате подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формули (7) и (6), и извършваме действията в модула:
- Отговор Б) НЕ е търсеното решение, защото е неправилна дроб, а всяка неправилна дроб е по-голяма от 1.
- За останалите отговори прилагаме правилото за сравняване на дроби с различни знаменатели:
- Верен отговор А).

Изразът A = е равен на:
- А)5
- Б)6
- В)7
- Г)9
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Рационализирайте всяка от дробите и извършете действията.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Премахваме корена от всеки знаменател, като умножим числител и знаменател със спрегнатия на знаменателя и привеждаме под общ знаменател:
- Верен отговор А).

Допустимите стойности за a в израза са:
- А)a [– 1; 2) (2; 3]
- Б)a [– 2; 3]
- В)a [– 3; 1) (1; 2]
- Г)a [– 3; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете ДМ на дробна (рационална) функция и на ирационална функция.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме свойство 1 на ирационална функция и ДМ на дробна функция:
- Верен отговор В).

Решенията на неравенството са:
- А)x (1; 5)
- Б)x (1; 3) (3; 5)
- В)x (– 1; 5)
- Г)x (– ∞; 1) (5; + ∞)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете дробното неравенство.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме неравенството до основен вид:
- Решаваме неравенството по метода на интервалите:
  - Нулираме числител:
    x² – 6x + 9 = 0 (x – 3)² = 0 x = 3.
  - Нулираме знаменател:
    1 – x = 0 x = 1.
    5 – x = 0 x = 5.
  - Числото x = 3 идващ от числител е частен случай, защото числителят е на квадрат, като то се нанася на числовата ос, но не се включва в интервалите:
  - Определяме решенията:
    x (1; 3) (3; 5).
- Верен отговор Б).

Ако p = log₆ 3 и q = log₆ 5, то log₄₅ 12 е равно на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: С помощта на подходящи формули преобразувайте log₄₅ 12, така че основата на логаритъма да е равна на 6 (защото в числата p и q има логаритми с основа 6).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Последователно прилагаме формули (4), (13) и (14):
- Верен отговор Б).

Ако двойката числа (x; y) е ненулево решение на системата , тогава |x + y| е равно на:
- А)0
- Б)5
- В)7
- Г)10
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Решете системата чрез събиране.
2. Полученото уравнение, заедно с едно от дадените уравнения съставят нова система, която решете чрез заместване.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Решаваме системата чрез изваждане:
  4x + y – 3x – 2y = 0 x – y = 0.
- Това уравнение и едно от дадените съставят нова система, която решаваме чрез заместване:
  y² + 4y + y = 0 y(y + 5) = 0; y₁ = 0, y₂ = – 5.
- Тогава решенията са:
  - При y₁ = 0 x₁ = y₁ = 0, но това противоречи на даденото, т.е. x₁ = y₁ = 0 НЕ е търсеното решение.
  - При y₂ = – 5 x₂ = y₂ = – 5, това |x₂ + y₂| = |– 5 – 5| = |– 10| = 10.
- Верен отговор Г).

Ако x₁ и x₂ са корени на уравнението 2x² – 5x + 2 = 0, то стойността на израза е равна на:
- А)– 3
- Б)
- В)–
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- За даденото уравнение прилагаме формулите на Виет:
  x₁ + x₂ = ; x₁ . x₂ = 1.
- Преобразуваме израза B и заместваме с тези стойности:
- Верен отговор Б).

Стойността на израза е равна на:
- А)cos 19°
- Б)tg 19°
- В)sin 19°
- Г)cotg 19°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте таблица 2, за да сведете всички ъгли до 360°.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От таблица 2 получаваме:
  - sin 2019° = sin (5.360° + 219°) = sin 219°.
  - cos 161° = cos (180° – 19°) = – cos 19°.
- Заместваме в израза В и преобразуваме:
- Верен отговор В).

В ΔABC, AB = 8, AC = 12, BAC = 45°, CM е медиана на страната AB и ъглополовящата на BAC пресича CM в точка L. Лицето на ΔALM е равно на:
- А)3
- Б)4
- В)4
- Г)6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете лицето на ΔABC.
2. Използвайте основна зад. 3, за да намерите лицето на ΔAMC.
3. Изразете лицето на ΔALC чрез ΔAML и намерете търсеното лице.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- За ΔABC използваме формула (2):
  S_ΔABC = . AC . AB . sin 45° = .12.8. = 24.
- СМ – медиана в ΔABC, тогава AM = BM = 4 и прилагаме подточка а) от основна зад. 3:
  S_ΔAMC = S_ΔABC = .24 = 12.
- AL – ъглополовяща в ΔAMC и от формула (5) следва:
  = 3 CL = 3x, LM = x.
- Построяваме АН, която се явява височина на тъпоъгълните триъгълници ALC и AML.
- Използваме формула (1), за да намерим връзката между лицата на ΔALC и ΔAML:
- S_ΔALC + S_ΔAML = S_ΔAMC 3S_ΔAML + S_ΔAML = 12 S_ΔAML = 3.
- Верен отговор А).

В ΔABC, AC = BC, AB = 4, R е радиусът на описаната около триъгълника окръжност, h е височината към страната AB и R : h = 5 : 9. Лицето на ΔABC е равно на:
- А)6
- Б)8
- В)10
- Г)12
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че ΔABC е равнобедрен и радиусът R на описаната окръжност лежи на височината h.
2. Използвайте Питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник и даденото отношение, за да намерите височината h.
3. Използвайте формула (1), за да намерите лицето на ΔABC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека т. О е център на описаната окръжност.
- По условие ΔABC е равнобедрен, което означава, че т. О лежи на височината h, т.е. AO = CO = R.
- От условието R : h = 5 : 9 R = 5x, h = CH = 9x.
- Тогава OH = CH – R = 9x – 5x = 4x.
- CH – височина в равнобедрения ΔABC, следователно CH е медиана, т.е. AH = BH = 2.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔAHO (AHO = 90°):
  AH² + HO² = AO² 2² + (4x)² = (5x)² x = .
- Намираме височината на ΔABC:
  h = CH = 9x = 9. = 6.
- Използваме формула (1), за да намерим търсеното лице:
  S_ΔABC = = 12.
- Верен отговор Г).

Критерии за оценяване

На чертежа е изобразена графиката на квадратната функция f(x) = x² + bx + c. Ако правата l е успоредна на абсцисната ос, тогава:
- А)b = – 2 и c = 0
- Б)b = и c = 0
- В)b = 0 и c = 2
- Г)b = – 2 и c = 0
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Определете координатите на върха на параболата.
2. От дадените стойности на коефициентите в и с в отговорите, директно проверете при кои от тях се получават изчислените в стъпка 1).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От графиката на функцията f (x) се вижда, че върхът на параболата има координата .
- С директна проверка установяваме, че само при отговор А) точката лежи на графиката на получената квадратна функция, защото:
  - При b = – 2 и c = 0 функцията е f (x) = x² – 2x.
  - Тогава, като заместим с x_v = – = във функцията f (x), получаваме f () = ()² – 2. = 2 – 4 = – 2 = y_v.
- Верен отговор А).

Общият член на редицата b₁, b₂, …, b_n, … е b_n = (– 1)ⁿ + , n = 1, 2, … . Сумата на първите 2019 члена на редицата е равна на:
- А)999
- Б)1001
- В)1009
- Г)2019
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Разпишете няколко члена на редицата и установете, че S₂₀₁₉ = – 1 + .
2. Използвайте теорема 2 на аритметична прогресия, защото числата 1, 2, …, 2019 са аритметична прогресия с a₁ = 1, a₂₀₁₉ = 2019 и n = 2019.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Разписваме няколко члена на дадената редица:
  - При n = 1 получаваме b₁ = (– 1)¹ + = – 1 + .
  - При n = 2 получаваме b₂ = (– 1)² + = 1 + .
  - При n = 3 получаваме b₃ = (– 1)³ + = – 1 + .
  - При n = 4 получаваме b₄ = (– 1)⁴ + = 1 + .
- Така забелязваме, че при нечетен индекс се получава – 1 събрана с дроб, а при четен индекс се получава 1 събрана с дроб.
- Затова получаваме:
  b₁ + b₂ + … + b₂₀₁₉ = – 1 + .
- Числителят на дробта е аритметична прогресия с първи член a₁ = 1, последен член a₂₀₁₉ = 2019, разлика d = 1 и брой на членовете n = 2019, тогава от теорема 2 за аритметична прогресия получаваме:
  S₂₀₁₉ = . 2019 = . 2019 = 1010.2019.
- Тогава:
  – 1 + = – 1 + = – 1 + 1010 = 1009.
- Верен отговор В).

Ако числата a, b, c са отрицателни и образуват геометрична прогресия, стойностите на частното q на прогресията, за която 2c > 11b – 12a, са:
- А)q (– 1; 1)
- Б)q
- В)q (2; 6)
- Г)q
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. С помощта на теорема 1 разпишете членовете a, b и c на геометрична прогресия с първи член a и частно q.
2. Заместете получените числа в даденото неравенство и го решете спрямо q, като не забравяте, че числото a е отрицателно.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Щом числата a, b, c образуват геометрична прогресия, то прилагаме теорема 1 на геометрична прогресия и получаваме, че: a₁ = a, a₂ = b = a.q, a₃ = c = a.q².
- Заместваме и получаваме неравенството:
  2c > 11b – 12a 2aq² > 11aq – 12a.
- По условие a < 0, защото числата са отрицателни и получаваме:
  2aq² > 11aq – 12a | : a 2q² < 11q – 12 2q² – 11q + 12 < 0.
- Решенията на това квадратно неравенство са:
  q .
- Верен отговор Г).

На чертежа е изобразена графиката на функцията f (x) = cos x, x и през пресечните точки с координатните оси минава права l с уравнение y = kx + n. Тогава:
- А)k = – π и n = 1
- Б)k = – 2 и n = 1
- В)k = 1 и n = –
- Г)k = и n = 1
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Отбележете с M и N пресечните точки на графиките с абсцисната и ординатната ос.
2. Определете координатите на тези точки.
3. Определете при кои дадени стойности на k и n, тези точки лежат върху графиката на y.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека с M и N да отбележим пресечните точки на графиките с абсцисната и ординатната ос.
- Като използваме графика на линейна функция и свойствата на функцията косинус, координатите на тези точки са M и N (0; 1).
- Проверяваме при кои отговори, тези точки лежат и върху графиката на линейната функция y:
  А) При k = – π и n = 1 линейната функция е y = – πx + 1. Точката M НЕ лежи на графиката на тази функция, защото при x = получаваме y = – π . + 1 ≠ 0.
  
  Б) При k = – 2 и n = 1 линейната функция е y = – 2x + 1. Точката M НЕ лежи на графиката на тази функция, защото при x = получаваме y = – 2. + 1 ≠ 0.
  
  В) При k = 1, и n = – линейната функция е y = 1x – . Точката N (0; 1) НЕ лежи на графиката на тази функция, защото при x = 0 получаваме y = 1.0 – ≠ 1.
  
  Г) При k = , и n = 1 линейната функция е y = . x + 1. Точката M лежи на графиката на тази функция, защото при x = получаваме y = + 1 = 0. По подобен начин проверяваме, че точка N (0; 1) също лежи върху графиката на y.
- Верен отговор Г).

В клуб „Фаталист“ играят 15 футболисти – 10 от девети клас и 5 от осми клас. Клубните фланелки са с номера от 1 до 10 са раздадени на деветокласниците, а осмокласниците играят с фланелки без номера. Във всеки мач отборът на клуба излиза с 5 футболисти, от които трима деветокласници и общ сбор от номерата на фланелките равен на 13, и двама осмокласници, без номера. Броят на различните стартови състави на клуба е равен на:
- А)75
- Б)80
- В)82
- Г)90
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Броят на 2 осмокласника без номера на фланелките се избират от общо 5 по С₅² начина
2. Докажете, че 3 деветокласника се избират от общо 10 по 8 начина.
3. Използвайте правилото за умножение, защото възможностите са свързани със съюза „и“, за да намерите отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- 2 осмокласника се избират от общо 5, като подредбата няма значение, защото фланелките са без номера, т.е намираме комбинации на 5 елемента от 2 клас:
  10.
- За деветокласниците по условие имаме, че се избират 3 от общо 10, като фланелките им имат номера от 1 до 10 и общият сбор от номерата е равен на 13. Разписваме всички възможни варианти на сбора от номерата:
  - 1 + 2 + 10; 1 + 3 + 9; 1 + 4 + 8; 1 + 5 + 7.
  - 2 + 3 + 8; 2 + 4 + 7; 2 + 5 + 6.
  - 3 + 4 + 6.
  - Общо 8 варианта.
- Използваме правилото за умножение, защото по условие вариантите са свързани със съюза „и“:
  8.C₅² = 8.10 = 80.
- Верен отговор Б).

Дадени са числовите данни: 12, 9, 16, 17, 12, 17 – x, 19 + x, 18, където x > 0. За тези данни е известно, че медианата им е равна на тяхното средноаритметично. Тогава x е равно на:
- А)1
- Б)2
- В)3
- Г)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете средното аритметично на дадените данни.
2. От това, че медианата е равна на средноаритметичното, намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Броят на данните е 8, т.е. n = 8.
- Използваме формула (8), за да намерим средноаритметичното на данните:
- И от условието следва, че медианата също e равна на 15.
- По дадените отговори за x, може да подредим данните във възходящ ред:
  9, 12, 12, 17 – x, 16, 17, 18, 19 + x.
- Понеже данните са четен брой, то медианата е равна на средното аритметично на двата централни члена:
  Медиана = 15 = x = 3.
- Верен отговор В).

В ΔABC ъглополовящите се пресичат в точка L, ALB = 105° и AB = 6. Радиусът на описаната около ΔABC окръжност е равен на:
- А)4
- Б)6
- В)3
- Г)4
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте основна зад. 2, за да намерите ACB.
2. Приложете синусова теорема и намерете отговора.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека ACB = γ.
- AA₁ и BB₁ са ъглополовящи, тогава от даденото и от основна зад. 2 получаваме:
  ALB = 105° =90° + γ = 30°.
- Прилагаме синусова теорема за ΔABC:
- Верен отговор Б).

В ΔABC, AC = BC = 7. Върху страната AB на триъгълника е взета точка D, като AD = 3 и BD = 8. Дължината на отсечката CD е равна на:
- А)3
- Б)4
- В)5
- Г)6
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. В ΔABC приложете косинусова теорема, за да намерите косинуса от ъгъла при основата.
2. В подходящ триъгълник приложете косинусова теорема, за да намерите CD.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- AB = AD + DB = 3 + 8 = 11.
- За ΔABC прилагаме косинусова теорема:
  cos ABC = = .
- За ΔDBC прилагаме косинусова теорема:
  CD² = DB² + BC² – 2.DB.BC.cos DBC = 8² + 7² – 2.8.7. = 25 CD = 5.
- Верен отговор В).

В равнобедрен трапец ABCD е вписана окръжност с център точка O и радиус r = , която се допира до бедрата на трапеца AD и BC, съответно в точките M и N. Ако точките A, O и N лежат на една права, периметърът на трапеца ABCD е равен на:
- А)10
- Б)8
- В)15
- Г)16
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Докажете, че AN е ъглополовяща на A.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете бедрото на трапеца.
3. От това, че трапецът е описан, получаваме, че AB + CD = 2AD.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- По условие точките А, О и N лежат на една права, но т. О е център на вписаната окръжност, следователно АО е ъглополовяща на BAD (теорема 2), т.е. BAN = NAD = α. Тогава BAD = 2α.
- ABCD – равнобедрен трапец ABC = BAD = 2α.
- От теорема за сбор на ъгли в ΔABN (ANB = 90°) получаваме:
  α + 2α = 90° α = 30° и BAD = 2α = 60°.
- ABCD – описан трапец и DH - височина DH = 2r = 2.
- Прилагаме формула (10) за правоъгълния ΔAHD (AHD = 90°):
  sin 60° = AD = 4.
- ABCD – описан равнобедрен трапец AD + BC = AB + CD 4 + 4 = AB + CD AB + CD = 8.
- P_ABCD = AB + CD + AD + BD = 8 + 2.4 = 16.
- Верен отговор Г).

Лицето на ромб е четири пъти по-голямо от лицето на вписания в него кръг. Ако острият ъгъл на ромба е α, тогава cotg α е равно на:
- А)
- Б)
- В)
- Г)π² – 2
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изразете страната на ромба чрез радиуса на вписаната в него окръжност.
2. Постройте височината DH на ромба и от подходящ правоъгълен триъгълник намерете отсечката АН.
3. В подходящ правоъгълен триъгълник приложете тригонометрична функция котангенс и отговорете на въпроса.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме DH – височина на ромба и нека страната на ромба да отбележим с a.
- ABCD – описан ромб DH = 2r.
- От условието намираме страната a:
  S_ABCD = 4S_кръг a.2r = 4π.r² a = 2πr.
- Прилагаме Питагорова теорема за ΔAHD (AHD = 90°):
  AH² + DH² = AD² AH² + (2r)² = (2πr)² AH² = 4r²(π – 1) AH = 2r.
- Прилагаме формула (13) за ΔAHD:
  cotg α = = .
- Верен отговор А).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачите от 21. до 25. включително запишете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Стойността на израза е равна на:

Вижте упътване

Упътване:

Извършете пресмятанията, като използвате подходящи формули.

Вижте решение
Решение:
- Използваме подходящи формули:
- Отговор: A = 5.

Решенията на уравнението са:

Вижте упътване

Упътване:

Решете ирационалното уравнение чрез подходящо полагане.

Вижте решение
Решение:
- Полагаме
  = y.
- Решаваме полученото ирационално уравнение:
- Връщаме се в полагането и решаваме полученото дробно уравнение:
  = 7 1 = 7(x – 3) x = .
- Отговор: x = .

От банка е изтеглен кредит при условията на сложна лихва с p% годишен лихвен процент и двугодишен период на погасяване. След една година по кредита е направена първата погасителна вноска, равна на от общо дължимата към този момент сума. След още една година кредитът е напълно погасен с втора вноска, равна на 69% от стойността на изтегления кредит. Годишният лихвен процент на банката е равен на:

Вижте упътване
Упътване:
1. Отбележете с К изтегления кредит и с помощта на формула (2) изчислете останалата сума в края на 1 период.
2. По подобен начин изчислете останалата сума в края на 2 период.
3. Съставете уравнение и го решете спрямо p.
Вижте решение
Решение:
- Нека изтегленият кредит да е K лв. при лихва p%.
- Дължимата сума в края на 1 период е
  K₁ = K + K. = K = K.q, където q = 1 + .
- По условие от тази сума се плаща K.q.
- Тогава сумата в края на 1 период, която е и сума в началото на 2 период е:
  K.q – K.q = K.q .
- Изчисляваме дължимата сума в края на 2 период:
- Тази сума погасява дълга и според условието имаме:
- Тогава:
  1 + p = 15%.
- Отговор: p = 15%.

Компания е реализирала приходи от обща 4 млн. лева за периода 2015 – 2018 г., като разпределението на приходите по години е дадено на кръговата диаграма. На другата диаграма са представени разходите на компанията по години в стотици хиляди лева. Колко лева е най-голямата годишна печалба на компанията в указания период и през коя година е реализирана?

Вижте упътване

Упътване:

От кръговата диаграма изчислете приходите, а от правоъгълната диаграма – разходите и отговорете на въпроса.

Вижте решение
Решение:
- От кръговата диаграма изчисляваме приходите по години: По условие е дадено, че всички приходи са 4 млн. лв., тогава:
  - Приходите през 2015 г. са 20% от 4 млн. = 0,20.4.10⁶ = 80.10⁴ лв.
  - Приходите през 2016 г. са 23% от 4 млн. = 0,23.4.10⁶ = 92.10⁴ лв.
  - Приходите през 2017 г. са 27% от 4 млн. = 0,27.4.10⁶ = 108.10⁴ лв.
  - Приходите през 2018 г. са 30% от 4 млн. = 0,30.4.10⁶ = 120.10⁴ лв.
- От правоъгълната диаграма определяме разходите по години:
  - Разходи през 2015 г. са 6.10⁵ = 60.10⁴ лв.
  - Разходи през 2016 г. са 7.10⁵ = 70.10⁴ лв.
  - Разходи през 2017 г. са 9.10⁵ = 90.10⁴ лв.
  - Разходи през 2018 г. са 10.10⁵ = 100.10⁴ лв.
- Изчисляваме печалбата по години:
  - Печалба _{2015 г.} = Приходи _{2015 г.} – Разходи _{2015 г.} = 80.10⁴ – 60.10⁴ = 20.10⁴ лв.
  - Печалба _{2016 г.} = Приходи _{2016 г.} – Разходи _{2016 г.} = 92.10⁴ – 70.10⁴ = 22.10⁴ лв.
  - Печалба _{2017 г.} = Приходи _{2017 г.} – Разходи _{2017 г.} = 108.10⁴ – 90.10⁴ = 18.10⁴ лв.
  - Печалба _{2018 г.} = Приходи _{2018 г.} – Разходи _{2018 г.} = 120.10⁴ – 100.10⁴ = 20.10⁴ лв.
- Отговор: Най-голяма е печалбата през 2016 г., като тя е 220 000 лв.

Точката Q лежи върху диагонала BD на правоъгълника ABCD. Ако BC = 15, BQ = 4 и CQ = 13, дължината на страната AB правоъгълника е равна на:

Вижте упътване
Упътване:
1. Приложете косинусова теорема за ΔBCQ и намерете cos QBC.
2. От основно тригонометрично равенство намерете sin QBC.
3. Приложете тригонометрична формула (1.3), за да намерите tg QBC.
4. Приложете тригонометрична функция тангенс за ΔBCD и намерете отговора.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме косинусова теорема за ΔQBC:
- Прилагаме основното тригонометрично равенство:
  sin² QBC + cos² QBC = 1 sin² QBC + = 1 sin QBC = .
- Прилагаме тригонометрична формула (1.3):
- Прилагаме тригонометрична функция тангенс за ΔBCD (BCD = 90°):
  tg QBC = CD = 20.
- ABCD – правоъгълник AB = CD = 20.
- Отговор: AB = 20.

Условията на задачи от 26. до 28. включително може да намерите тук, а указание за решаването им – тук.

Върни се нагоре Други тестове 2018 г. 2021 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура