Технически университет - тест по математика, 2017 г

ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ – София
Тест от изпит по МАТЕМАТИКА

Тестове от други години

Решили сме тестовете от изпити за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (10 клас и 7 клас), от 2008 г. до сега.

Тестове от други години

Тест – Юли 2017 година

ПЪРВА ЧАСТ

Отговорите на задачите от 1. до 20. включително отбележете в листа с отговори!

Критерии за оценяване

Стойността на израза при x = 3 е:
- А)
- Б)3
- В)
- Г)
- Д)5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Заместете с дадената стойност на x.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Заместваме с x = 3:
  .
- Верен отговор Г).

Изразът е равен на:
- А)–9(x – 4)
- Б)8|x – 4|
- В)9|x – 4|
- Г)9(x – 4)
- Д)–9|x – 4|
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме подходящи формули:
- Верен отговор В).

Най-малкият корен на уравнението x⁴ + 27x = 0 е:
- А)– 5
- Б)– 4
- В)– 3
- Г)1
- Д)3
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изнесете х пред скоба.
2. Използвайте формула (6).
3. Решете уравнение от вида (11).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Изнасяме х пред скоба и прилагаме формула (6):
  x⁴ + 27x = 0 x(x³ + 3³) = 0 x(x + 3)(x² – x + 3) = 0.
- Това уравнение е от вид (11) и се разпада на следните уравнения:
  - x = 0.
  - x + 3 = 0 x = – 3.
  - x² – x + 3 = 0 няма решение, защото D = – 1 < 0.
- Най-малкото число е – 3.
- Верен отговор В).

Корените на уравнението са:
- А)–2 и 5
- Б)2 и 5
- В)3 и 5
- Г)– 2
- Д)2
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете ирационалното уравнение.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме ирационалното уравнение:
- Верен отговор Г).

Целите числа, които не са решения на неравенството (x² + 1)(x – 1)(x – 3) > 0, са:
- А)1; 2
- Б)1; 2; 3
- В)0; 1; 2
- Г)2; 3; 4
- Д)3; 4; 5
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Решете неравенство от вид (2).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Неравенството е в готов вид (2) и използваме метода на интервалите.
- Нулираме всяка скоба:
  - x² + 1 = 0. Няма решение, защото D < 0, т.е. x² + 1 > 0 за всяко x.
  - x – 1 = 0 x = 1.
  - x – 3 = 0 x = 3.
- Нанасяме тези числа на числовата ос и определяме знаците на всеки подинтервал:
- Определяме решенията:
  x (– ∞; 1) (3; + ∞).
- Целите числа, които не принадлежат на този интервал са: 1; 2; 3.
- Верен отговор Б).

Дадена е геометрична прогресия с общ член a_n, за която a₁ = – и a₃ = – 2. Членът a₇ на прогресията е:
- А)9
- Б)– 9
- В)– 72
- Г)– 81
- Д)– 162
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теорема 1 от геометрична прогресия.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме теорема 1 на геометричната прогресия, за да намерим частното q:
  a₃ = a₁.q² – 2 = – .q² q² = 9 q_1/2 = ± 3.
- Отново използваме теорема 1:
  a₇ = a₁.q⁶ = – .(± 3)⁶ = – 162.
- Верен отговор Д).

Ако sin α = при 90° < α < 180°, то стойността на израза tg α – cotg α е равна на:
- А)–
- Б)–
- В)–
- Г)
- Д)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи тригонометрични формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От основното тригонометрично равенство намираме cos α:
- При α (90°; 180°) cos α < 0, тогава от (1) cos α = – .
- Използваме тригонометрична формула (1.3):
- Намираме отговора:
  tg α – cotg α = .
- Верен отговор А).

Ако sin α + cos α = m, то стойността на израза sin 2α е:
- А)m² – 1
- Б)m² + 1
- В)m – 1
- Г)m + 1
- Д)2m
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте втората формула от тригонометрична формула (5.1).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- В тригонометрична формула (5.1) прибавяме и изваждаме 1 и използваме основното тригонометрично равенство (1.1):
  sin 2α = 2sin α . cos α = 2sin α . cos α + 1 – 1 = 2sin α . cos α + sin² α + cos² α – 1 = sin² α + 2sin α . cos α + cos² α – 1 = (sin α + cos α)² – 1 = m² – 1.
- Верен отговор А).

Ако a = 1 + log₄ 9, то числото 2^a е равно на:
- А)5
- Б)6
- В)7
- Г)8
- Д)9
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходящи формули.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Последователно използваме формули (1), (12) и (6):
- Верен отговор Б).

Функцията f(x) = , x (– ∞; + ∞) е:
- А)четна
- Б)нечетна
- В)растяща
- Г)намаляваща
- Д)ограничена
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте това, че при увеличаване на х, функцията f(x) се увеличава.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Функцията f(x) се увеличава, когато х се увеличава, т.е. f(x) е растяща.
- Верен отговор В).

Ако f(x₀) е локалният минимум на функцията f(x) = – x³ + 3x – 2, то числото x₀ принадлежи на интервала:
- А)[0; 1)
- Б)[0;1]
- В)(–1; 0)
- Г)(–2; –1]
- Д)[–2; –1)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изследвайте функцията f(x) за локален екстремум.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Изследваме функцията f(x) за локален екстремум по второто правило:
  - Намираме първата производна:
    f ' = – 3x² + 3.
  - Намираме интервалите, в които първата производна е положителна:
    f ' = – 3x² + 3 > 0 x² – 1 < 0 (x – 1)(x + 1) < 0 x (– 1; + 1).
  - В този интервал функцията f(x) е растяща, т.е. определяме точките, в които f(x) има локален min и локален max:
  - От таблицата се вижда, че x₀ = – 1.
- Това число принадлежи на интервала от отговор Г).
- Верен отговор Г).

Ако x₁ и x₂ са корените на квадратното уравнение 3x² – 20x + 1 = 0, то стойността на израза x₁²x₂ + x₁x₂² е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)2
- Д)3
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулите на Виет.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Използваме формулите на Виет:
- Преобразуваме дадения израз и заместваме:
  x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂) = .
- Верен отговор Б).

Сборът на модата и медианата на данните 4, 5, 3, 7, 3, 11, 9 е равен на:
- А)7
- Б)8
- В)9
- Г)11
- Д)12
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте определенията за мода и медиана.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Подреждаме данните във възходящ ред:
  3, 3, 4, 5, 7, 9, 11.
- Числото което се повтаря е 3, т.е. МОДА = 3.
- Данните са нечетен брой и числото по средата е медианата, т.е. МЕД. = 5.
- Намираме сборa им:
  МОДА + МЕД. = 3 + 5 = 8.
- Верен отговор Б).

В едно първенство по футбол участват 20 отбора, разпределени в 5 групи по 4 отбора. Отборите във всяка група играят по два мача помежду си. Броят на мачовете, които се играят в групите на това първенство, е:
- А)44
- Б)50
- В)54
- Г)56
- Д)60
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте комбинации на 4 елемента от 2 клас, за да намерите броя на срещите в една група.
2. Полученото число умножете по 5, за да намерите общия брой на мачовете.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме броя срещи изиграни от всеки отбор в 1 група – Във всяка група има по 4 отбора, като в срещата участват 2 отбора, т.е намираме комбинации на 4 елемента от 2 клас:
- Общо всички срещи в групата са 2.6 = 12.
- Изиграните мачовете във всички групи са 5.12 = 60.
- Верен отговор Д).

Даден е ΔABC, за който AC = 6 cm, AB = 4 cm и CAB = 30°. Ако AM (M BC) е медиана, то лицето на ΔABM е:
- А)3 cm²
- Б)4 cm²
- В)5 cm²
- Г)6 cm²
- Д)6 cm²
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Намерете лицето на ΔABC и използвайте основна зад.3 подточка а).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Намираме лицето на ΔABC:
  S_ΔABC = . AC . AB . sin CAB = . 6 . 4 . = 6 cm².
- От основна зад. 3 следва, че всяка медиана дели триъгълник на два равнолицеви триъгълника, т.е.:
  S_ΔABM = . S_ΔABC = . 6 = 3 cm².
- Верен отговор А).

Ако страните на един правоъгълник са увеличени съответно с 40% и 30%, то лицето му се е увеличило с:
- А)62%
- Б)68%
- В)70%
- Г)72%
- Д)82%
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Означете с a₁ и b₁ страните на правоъгълника преди увеличението, тогава след увеличението са a₂ = 1,4a₁ и b₂ = 1,3b₁.
2. Намерете лицата на правоъгълника преди и след увеличението, и ги сравнете.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека страните на правоъгълника преди увеличението са a₁ и b₁, тогава лицето му е S₁ = a₁b₁.
- По условие след увеличението страните са:
  - a₂ = a₁ + 40%a₁ = 1,4a₁.
  - b₂ = b₁ + 30%b₁ = 1,3b₁.
- Намираме лицето на правоъгълника след увеличението:
  S₂ = a₂.b₂ = 1,4a₁.1,3b₁ = 1,82a₁.b₁ = 1,82.S₁ = S₁ + 0,82.S₁ = S₁ + 82%S₁.
- Т.е. лицето се увеличава с 82%.
- Верен отговор Д).

Височините на успоредник са 3 cm и 5 cm, а периметърът му е 32 cm. Лицето на успоредника е:
- А)21 cm²
- Б)30 cm²
- В)36 cm²
- Г)40 cm²
- Д)44 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От подходящи правоъгълни триъгълници получете sin α и след това намерете страните на успоредника.
2. Използвайте формула (8), за да намерите лицето на успоредника.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ABCD – успоредник BAD = BCD = α.
- Прилагаме формула (10) за правоъгълните ΔAHD и ΔCPD:
- Намираме страната АВ:
  P_ABCD = 2(a + b) 32 = 2(a + a) a = AB = 10 cm.
- Прилагаме формула (8):
  S_ABCD = AB.DH = 10.3 = 30 cm².
- Верен отговор Б).

В трапец с бедра 8 cm и 12 cm е вписана окръжност с радиус 4 cm. Лицето на трапеца е:
- А)60 cm²
- Б)68 cm²
- В)70 cm²
- Г)78 cm²
- Д)80 cm²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От формула (2) намерете периметъра на трапеца.
2. Използвайте формула (4), за да намерите лицето на трапеца.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека a и b са основите, а c = 12 cm и d = 8 cm са бедрата на трапеца ABCD.
- ABCD – описан трапец a + b = c + d = 12 + 8 = 20 cm.
- p_ABCD = (a + b + c + d) = (20 + 12 + 8) = 20 cm.
- Използваме формула (4):
  S_ABCD = p . r = 20 . 4 = 80 cm².
- Верен отговор Д).

Даден е куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с околни ръбове AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁. Ъгълът между правата AD₁ и равнината (ACC₁) е:
- А)15°
- Б)30°
- В)45°
- Г)60°
- Д)75°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Нека т. О е пресечна точна на диагоналите на основата и докажете, че (AD₁, ACC₁) = BC₁O.
2. От подходящи правоъгълни триъгълници намерете ВО и ВС₁.
3. Приложете тригонометрична функция синус в подходящ правоъгълен триъгълник и намерете BC₁O.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Построяваме ъгъл (AD₁, ACC₁) = BC₁O = φ:
  - Построяваме BC₁ || AD₁ BC₁ = AD₁.
  - AC и BD са диагонали на квадрата ABCD BO AC, т.е. т. О е проекцията на т. В в равнината (ACC₁).
  - Това означава, че проекцията на BC₁ в равнината (ACC₁) e отсечката OC₁.
  - Тогава (AD₁, ACC₁) = BC₁O = φ.
- Прилагаме питагорова теорема за ΔBCC₁ (BCC₁ = 90°):
  BC₁² = BC² + CC₁² = a² + a² =2a² BC₁ = a.
- BD и BC₁ са диагонали в еднаквите квадрати ABCD и BCC₁B₁ BD = BC₁ = a.
- т. О – среда на BD BO = .
- Прилагаме формула (10) за ΔBOC₁ (BOC₁ = 90°, защото C₁O – медиана в равнобедрения ΔBDC₁ или C₁O – височина):
- Верен отговор Б).

В прав кръгов цилиндър е вписана права триъгълна призма със страни на основата 12 cm, 16 cm, 20 cm и околен ръб 20 cm. Обемът на цилиндъра е:
- А)1000π cm³
- Б)1500π cm³
- В)1800π cm³
- Г)2000π cm³
- Д)2500π cm³
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Използвайте това, че призмата е вписана в цилиндъра. Това означава, че основата на призмата е вписана в основата на цилиндъра, т.е. триъгълникът със страни 12 cm, 16 cm, 20 cm е вписан в окръжност. Радиусът R на тази окръжност се явява радиус на цилиндъра. Намираме този радиус от Хероновата формула.
2. Използвайте формула (4), за да намерите лицето на споменатия по-горе триъгълник.
3. Използвайте твърдение (14), за да намерите търсения обем.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Призмата е вписана в цилиндъра.
- Това означава, че основата на призмата е вписана в основата на цилиндъра, т.е. триъгълникът със страни 12 cm, 16 cm, 20 cm е вписан в окръжност.
- Радиусът R на тази окръжност се явява радиус на цилиндъра.
- Намираме този радиус R:
  - p_Δ = .
  - Прилагаме Хероновата формула:
  - Прилагаме формула (4):
- Образуващата на призмата е височина на цилиндъра, т.е. h = 20.
- Използваме твърдение (14):
  V = π . R² . h = π . 10² . 20 = 2000π cm³.
- Верен отговор Г).

Условията на задачите от ВТОРА ЧАСТ може да намерите тук.

Върни се нагоре Други тестове 2016 г. 2018 г.

Вижте още

Самоподготовка

Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас

ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура